论文部分内容阅读
【摘 要】在教学资源泛滥的背景下，数学解题教学中“教考挂钩”“拿来主义”的现象日趋严重，导致解题教学偏离了正常的轨道。“大概念”学科领域中最精华、最有价值的核心内容是学科教学的灵魂。在“大概念”的统摄下，有助于教师树立解题教学的理念，明确解题教学的目标，规划解题教学的流程。
【关键词】解题教学;大概念;拿来主义
【作者简介】吕增锋，正高级教师，甬城教育名家，宁波市领军拔尖人才。
【基金项目】2021年宁波市教育科学规划重点课题 “大概念视角下高中数学单元教学的研究”（2021YZD079）;2021年浙江省教研课题“基于核心素养的高中数学课改进的实践研究”（G2021073）
解题和解题教学在数学教育中具有举足轻重的作用。尤其在高三复习阶段，例题讲解、解题训练几乎占用了师生的大部分时间。虽然解题与解题教学对于提升学生的解题水平与数学思维能力具有重要的作用，但它们本身也存在一些不足。在学术界，解题教学也存在不少争议，比如，“解题教学是模仿教学还是思维教学”“坚持题海战术还是倡导精讲精练”“是否应当划分问题类型”等[1]。不仅如此，解题成效持续时间短更是普遍存在的问题。我们暂且不去深究解题与解题教学的是与非，但它们所指向的教学现实值得大家深思。
一、解题教学需要“理由”
在一些教师眼里，解题教学是很随性的一件事，发现“好”的题目或“好”的方法，教师就拿去课上讲。例如，笔者最近观摩的一节高三第二轮复习课，执教教师讲授了以下题目。
例1（2011年浙江卷理22）设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R。
（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a。
（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立。注：e为自然对数的底数。
这是一道高考数学压轴题，第（2）问的难度比较大，一般的学生很难完全做对。针对此情况，授课教师提出了“必要性探路”的解题策略，即在x∈（0，3e]中找特殊值代入f（x）≤4e2，把a的大致范围先确定出来，然后再缩小a的范围，最后验证充分性确认答案。当授课教师把x=e，e2，3e分别代入f（x）≤4e2后，得到a的取值范围是3e-2eln（3e）≤a≤3e，而巧合的是，这就是最终的答案。当然，基于解题的严密性还需要进一步验证其充分性，并且验证的过程也不见得比常规解法简单。
不可否认，“必要性探路”的解题策略在解题中是有一定价值的，但该方法是否值得教师花一节课去讲？讲了以后，又有多少学生能够掌握？如何避免解法对学生造成思维干扰？在解题教学之前，教师应充分考虑这些问题。这些问题的答案直指解题教学的“理由”，即为什么教、教什么、怎么教、教了有什么用。这些“理由”不仅支撑起解题教学的理念，决定教师的教学行为，还决定解题教学的预期成效。
在本节课，教师应关注以下三个方面的问题。首先，“必要性探路”的解题策略不属于解题的通性通法，而是一种解题的辅助技巧，在某些情况虽然能够提高解题速度，但不具备一般性，因此，“为什么教”“教什么”的理由不充分。其次，即使这种方法有用，但只通过一节课，学生能否领悟其中的精髓，结果不得而知，因此“怎么教”的理由不充分。最后，在运用“必要性探路”的解题策略解题后，验证其充分性的过程有时会比较烦琐，容易导致有的学生不去关心验证的过程，而只关注这种方法在“凑对”答案时所带来的快感，无形中助长了解题投机的心理。因此，“教了有什么用”的理由也不充分。
二、解题教学“理由”的窄化
受应试教育功利化的影响，一些教师的解题教学的“理由”易呈现“窄化”的趋势。从理论上讲，解题教学讲哪些题、用什么思想方法、难度把控等问题应该由育人目标与课程标准决定，但事实上考试大纲或者高考导向，甚至是模拟考、联考对解题教学的影响更大，基本上是“考什么题，就教什么”“考多难，教多难”。
不可否认，把解题教学与考试直接挂钩的做法在短期内确实能够提高学生的答题速度与准确率，但容易导致思维固化，应变能力弱化。尤其是遇到创新性与灵活性比较强的问题时，学生更容易出现思维固化的现象。以下面两道高考题为例。
例2（2008年浙江卷理15）已知t为常数，函数y=|x2-2x-t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=。
在课堂上，由于教师平时讲二次函数比较多，学生习惯上把函数y=|x2-2x-t|当作含绝对值的二次函数来处理，对参数t进行分类讨论，虽然最后能解出正确答案，但解题过程烦琐。实际上，令m=x2-2x，则y=|m-t|，就可将问题转化为含绝对值的一次函数，结合函数图象，易得到t=1。
例3（2012年浙江卷理17）设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=。
当看到这么复杂的问题，很多学生马上慌了手脚，根本不会想到可以通过变形，把 [（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0转化为[ax-（x+1）][ax-（x2-1）]≤0，再类比一元二次不等式解集的几何意义，得到y=ax的图象介于y=x+1与y=x2-1图象之间，即y=ax过y=x+1与y=x2-1的交点（2，3），则a=32。
很多教师把学生不会做上述两道题的原因归结为遇到了陌生题。本着“一回生，二回熟”的理念，很多教师认为短期内最有效的方法就是让学生在考前大量刷题，这无形中助长了“拿来主义”之风。随着网络的发展，试题分析与解题方法的获得比较便利，很多时候也不需要教师亲自去整理题目，就已经有人帮归类。于是，“拿来主义”成为数学解题教学的“理由”，各种怪题、偏题、难题，眼花缭乱的解题技巧充斥着解题教学的课堂。
我们知道，数学解题能力的提升不是在于教师的灌输和纯粹的记忆与模仿，而是要立足学生已有的解题经验，让学生触发对数学思维认知结构的意义建构。解题经验是基本知识、基本方法与条件的有序组合，是学生面对问题时，头脑中出现的解题模式或者算法流程。在解题时，学生首先把题目所蕴含的语义纳入已有解题经验中去理解，对题意进行加工，从而建构起其自己所理解的题意，并在此过程中对题目进行模式识别，寻找思路[2]。这就意味着，如果解题教学难度过大，与学生已有的解题经验脱节严重，那么题意的理解与模式的识别就失去了经验依据，解题就成了“无源之水，无本之木”，导致“听得懂，不会用”;如果解题教学中，相同的解题经验被反复调用，就容易形成思维定式，导致“解题思路不开阔”。不仅如此，由于学生的智力结构特征和学习基础不同，解题经验也存在明显差异。因此，“拿来主义”无法达到教学难度与学生实际认知水平之间的平衡，也无法发挥解题教学的应有功能。 三、数学解题教学中的“大概念”
由此可见，把“教考挂钩”与“拿来主义”作为解题的理由是不“充分”的。那么，数学解题教学的“理由”到底是什么？ 笔者认为是数学“大概念”。“大概念”是一种联结，居于学科的核心，是反映专家思维方式的概念、观念或论题[3]，用于整体理解和联结相对分散的事实、知识、技能或经验，促进学习内容、思想方法、情感态度等方面发生迁移的思想或看法。“大概念”引领下的数学解题教学不仅有利于教师统摄教学内容，促进课程的一体化建设，实现跨学科的融合，而且使学生的学习变得有意义、有深度，促进学科核心素养的发展。
（一）“大概念”的内涵
“大概念”的“大”不是指庞大，而是指核心、高位或上位，即学科领域中最精华、最有价值的核心内容，是力图对学生的认知基础进行集成与融合，具有较强的迁移价值。在高中数学中，核心概念、中心问题和主要思想方法因具备上述的属性，而成为“大概念”的主要表现形式。比如，函数是刻画客观世界变化规律的重要模型;平面向量是沟通代数、三角、几何的桥梁;解析几何的核心是用代数方法解决几何问题等，这些都可以称作数学中的“大概念”。
“大概念”有三种表现形式：第一种指概念，是对一类具体事物本质特征的抽象概括，比如，向量的运算由几何运算与代数运算组成;第二种指观念，表现为一种看法和观点，反映概念与概念的关系，比如，函数单调性的学习为函数其他性质的学习提供了一般认知经验;第三种指论题，有些“大概念”很难有明确的答案，这时可能表现为论题，比如，数学是有趣的。[3]64-77
（二）解题教学中的“大概念”
“大概念”也有层级之分，从高到低一般依次为：课程大概念、单元大概念、课时大概念。由于课程大概念处于顶尖位置，其下面的两个“大概念”相对于它来说就成了小概念或者次要概念;同样，课时大概念、章节大概念，相对于单元大概念来说，也是小概念、次要概念，这也说明了“大概念”的“大”具有相对性，在每个层级中都有处于统摄地位的大概念。
在数学解题教学中，比如，“像专家那样思考”“熟知通性通法”，直指课程目标，是课程大概念;函数方程思想、数形结合思想一般贯穿于整个单元，可以理解为单元大概念;错位相减法、累乘法作为某节课的核心概念，属于课时大概念。
（三）“大概念”引领下的解题教学
以“大概念”统摄解题教学的目标定位、过程设计、例题甄选，可以确保解题教学遵循认知规律。具体操作如下。
1.以课程大概念“领路”，形成教学理念，明确教学目标。比如，在课程大概念“像专家那样思考”驱使下，教师首先会去研究“专家”思考方式的特征以及形成的机制，而不会只想着如何把题目讲清楚、如何传授更多的方法。教师自己也会以“专家”的身份，反思自己是如何学会解题的，如何对问题做出快速而准确的判断，把“研究”“反思”的结论细化为解题教学的目标，并分阶段实施。
2.以单元大概念“铺路”，设计教学的流程，发展解题思维。比如，上文的例1是体现单元大概念分类讨论与参数分离的较好载体。解题思路如下。
对函数f（x）=（x-a）2lnx直接求导，得f′（x）=（x-a）（2lnx+x-ax），要求f（x）的最大值，则需对参数a进行分类讨论。
当x∈（0，1]时，f（x）≤0<4e2显然成立;当x∈（1，3e]时，对（x-a）2lnx≤4e2进行参数分离，得x-2elnx≤a≤x+2elnx。
接着，教师可以“比较两种思路孰优孰劣”为主线，设计教学流程。
3.以课时大概念“行路”，提炼解题技巧，明确探究任务。还是以上文例1为例，若以“简化讨论”作为课时大概念，那么對f′（x）=（x-a）（2lnx+x-ax）就可以用“必要性探路”的策略进行解答。若以“放缩变形”作为课时大概念，对于x-2elnx≤a≤x+2elnx，令g（x）=x-2elnx，显然g（x）在定义域内单调递增，则gmax（x）=g（3e）=3e-2eln3e;令h（x）=x+2elnx，求导不容易判断h（x）的单调性，如果借助不等式lnx≤xe进行放缩，就会变得容易得多。因此，这节课就可以专门探讨关于自然对数lnx的放缩技巧（x-1x≤lnx≤x-1）及其应用。
波利亚反对让学生做大量的题目，他认为，如果一位数学教师把分配给他的时间塞满了例行运算来训练学生，那这位教师就扼杀了学生的学习兴趣，妨碍了学生的智力发展，这是波利亚所信奉的解题教学“理由”。虽然每位教师都有自己的解题教学“理由”，但在以发展核心素养为育人目标的教育背景下，数学“大概念”理应成为解题教学“理由”的主要依据。
参考文献：
[1]张辉蓉.数学解题教学是非之争及思考[J].中国教育学刊，2010（5）：38-42.
[2]闫滨. 高中学生数学解题经验对解题思路的影响[J]. 现代基础教育研究，2012（4）：193-197.
[3]刘徽.“大概念”视角下的单元整体教学构型：兼论素养导向的课堂变革[J].教育研究，2020（6）：64-77.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】解题教学;大概念;拿来主义
【作者简介】吕增锋，正高级教师，甬城教育名家，宁波市领军拔尖人才。
【基金项目】2021年宁波市教育科学规划重点课题 “大概念视角下高中数学单元教学的研究”（2021YZD079）;2021年浙江省教研课题“基于核心素养的高中数学课改进的实践研究”（G2021073）
解题和解题教学在数学教育中具有举足轻重的作用。尤其在高三复习阶段，例题讲解、解题训练几乎占用了师生的大部分时间。虽然解题与解题教学对于提升学生的解题水平与数学思维能力具有重要的作用，但它们本身也存在一些不足。在学术界，解题教学也存在不少争议，比如，“解题教学是模仿教学还是思维教学”“坚持题海战术还是倡导精讲精练”“是否应当划分问题类型”等[1]。不仅如此，解题成效持续时间短更是普遍存在的问题。我们暂且不去深究解题与解题教学的是与非，但它们所指向的教学现实值得大家深思。
一、解题教学需要“理由”
在一些教师眼里，解题教学是很随性的一件事，发现“好”的题目或“好”的方法，教师就拿去课上讲。例如，笔者最近观摩的一节高三第二轮复习课，执教教师讲授了以下题目。
例1（2011年浙江卷理22）设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R。
（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a。
（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立。注：e为自然对数的底数。
这是一道高考数学压轴题，第（2）问的难度比较大，一般的学生很难完全做对。针对此情况，授课教师提出了“必要性探路”的解题策略，即在x∈（0，3e]中找特殊值代入f（x）≤4e2，把a的大致范围先确定出来，然后再缩小a的范围，最后验证充分性确认答案。当授课教师把x=e，e2，3e分别代入f（x）≤4e2后，得到a的取值范围是3e-2eln（3e）≤a≤3e，而巧合的是，这就是最终的答案。当然，基于解题的严密性还需要进一步验证其充分性，并且验证的过程也不见得比常规解法简单。
不可否认，“必要性探路”的解题策略在解题中是有一定价值的，但该方法是否值得教师花一节课去讲？讲了以后，又有多少学生能够掌握？如何避免解法对学生造成思维干扰？在解题教学之前，教师应充分考虑这些问题。这些问题的答案直指解题教学的“理由”，即为什么教、教什么、怎么教、教了有什么用。这些“理由”不仅支撑起解题教学的理念，决定教师的教学行为，还决定解题教学的预期成效。
在本节课，教师应关注以下三个方面的问题。首先，“必要性探路”的解题策略不属于解题的通性通法，而是一种解题的辅助技巧，在某些情况虽然能够提高解题速度，但不具备一般性，因此，“为什么教”“教什么”的理由不充分。其次，即使这种方法有用，但只通过一节课，学生能否领悟其中的精髓，结果不得而知，因此“怎么教”的理由不充分。最后，在运用“必要性探路”的解题策略解题后，验证其充分性的过程有时会比较烦琐，容易导致有的学生不去关心验证的过程，而只关注这种方法在“凑对”答案时所带来的快感，无形中助长了解题投机的心理。因此，“教了有什么用”的理由也不充分。
二、解题教学“理由”的窄化
受应试教育功利化的影响，一些教师的解题教学的“理由”易呈现“窄化”的趋势。从理论上讲，解题教学讲哪些题、用什么思想方法、难度把控等问题应该由育人目标与课程标准决定，但事实上考试大纲或者高考导向，甚至是模拟考、联考对解题教学的影响更大，基本上是“考什么题，就教什么”“考多难，教多难”。
不可否认，把解题教学与考试直接挂钩的做法在短期内确实能够提高学生的答题速度与准确率，但容易导致思维固化，应变能力弱化。尤其是遇到创新性与灵活性比较强的问题时，学生更容易出现思维固化的现象。以下面两道高考题为例。
例2（2008年浙江卷理15）已知t为常数，函数y=|x2-2x-t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=。
在课堂上，由于教师平时讲二次函数比较多，学生习惯上把函数y=|x2-2x-t|当作含绝对值的二次函数来处理，对参数t进行分类讨论，虽然最后能解出正确答案，但解题过程烦琐。实际上，令m=x2-2x，则y=|m-t|，就可将问题转化为含绝对值的一次函数，结合函数图象，易得到t=1。
例3（2012年浙江卷理17）设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=。
当看到这么复杂的问题，很多学生马上慌了手脚，根本不会想到可以通过变形，把 [（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0转化为[ax-（x+1）][ax-（x2-1）]≤0，再类比一元二次不等式解集的几何意义，得到y=ax的图象介于y=x+1与y=x2-1图象之间，即y=ax过y=x+1与y=x2-1的交点（2，3），则a=32。
很多教师把学生不会做上述两道题的原因归结为遇到了陌生题。本着“一回生，二回熟”的理念，很多教师认为短期内最有效的方法就是让学生在考前大量刷题，这无形中助长了“拿来主义”之风。随着网络的发展，试题分析与解题方法的获得比较便利，很多时候也不需要教师亲自去整理题目，就已经有人帮归类。于是，“拿来主义”成为数学解题教学的“理由”，各种怪题、偏题、难题，眼花缭乱的解题技巧充斥着解题教学的课堂。
我们知道，数学解题能力的提升不是在于教师的灌输和纯粹的记忆与模仿，而是要立足学生已有的解题经验，让学生触发对数学思维认知结构的意义建构。解题经验是基本知识、基本方法与条件的有序组合，是学生面对问题时，头脑中出现的解题模式或者算法流程。在解题时，学生首先把题目所蕴含的语义纳入已有解题经验中去理解，对题意进行加工，从而建构起其自己所理解的题意，并在此过程中对题目进行模式识别，寻找思路[2]。这就意味着，如果解题教学难度过大，与学生已有的解题经验脱节严重，那么题意的理解与模式的识别就失去了经验依据，解题就成了“无源之水，无本之木”，导致“听得懂，不会用”;如果解题教学中，相同的解题经验被反复调用，就容易形成思维定式，导致“解题思路不开阔”。不仅如此，由于学生的智力结构特征和学习基础不同，解题经验也存在明显差异。因此，“拿来主义”无法达到教学难度与学生实际认知水平之间的平衡，也无法发挥解题教学的应有功能。 三、数学解题教学中的“大概念”
由此可见，把“教考挂钩”与“拿来主义”作为解题的理由是不“充分”的。那么，数学解题教学的“理由”到底是什么？ 笔者认为是数学“大概念”。“大概念”是一种联结，居于学科的核心，是反映专家思维方式的概念、观念或论题[3]，用于整体理解和联结相对分散的事实、知识、技能或经验，促进学习内容、思想方法、情感态度等方面发生迁移的思想或看法。“大概念”引领下的数学解题教学不仅有利于教师统摄教学内容，促进课程的一体化建设，实现跨学科的融合，而且使学生的学习变得有意义、有深度，促进学科核心素养的发展。
（一）“大概念”的内涵
“大概念”的“大”不是指庞大，而是指核心、高位或上位，即学科领域中最精华、最有价值的核心内容，是力图对学生的认知基础进行集成与融合，具有较强的迁移价值。在高中数学中，核心概念、中心问题和主要思想方法因具备上述的属性，而成为“大概念”的主要表现形式。比如，函数是刻画客观世界变化规律的重要模型;平面向量是沟通代数、三角、几何的桥梁;解析几何的核心是用代数方法解决几何问题等，这些都可以称作数学中的“大概念”。
“大概念”有三种表现形式：第一种指概念，是对一类具体事物本质特征的抽象概括，比如，向量的运算由几何运算与代数运算组成;第二种指观念，表现为一种看法和观点，反映概念与概念的关系，比如，函数单调性的学习为函数其他性质的学习提供了一般认知经验;第三种指论题，有些“大概念”很难有明确的答案，这时可能表现为论题，比如，数学是有趣的。[3]64-77
（二）解题教学中的“大概念”
“大概念”也有层级之分，从高到低一般依次为：课程大概念、单元大概念、课时大概念。由于课程大概念处于顶尖位置，其下面的两个“大概念”相对于它来说就成了小概念或者次要概念;同样，课时大概念、章节大概念，相对于单元大概念来说，也是小概念、次要概念，这也说明了“大概念”的“大”具有相对性，在每个层级中都有处于统摄地位的大概念。
在数学解题教学中，比如，“像专家那样思考”“熟知通性通法”，直指课程目标，是课程大概念;函数方程思想、数形结合思想一般贯穿于整个单元，可以理解为单元大概念;错位相减法、累乘法作为某节课的核心概念，属于课时大概念。
（三）“大概念”引领下的解题教学
以“大概念”统摄解题教学的目标定位、过程设计、例题甄选，可以确保解题教学遵循认知规律。具体操作如下。
1.以课程大概念“领路”，形成教学理念，明确教学目标。比如，在课程大概念“像专家那样思考”驱使下，教师首先会去研究“专家”思考方式的特征以及形成的机制，而不会只想着如何把题目讲清楚、如何传授更多的方法。教师自己也会以“专家”的身份，反思自己是如何学会解题的，如何对问题做出快速而准确的判断，把“研究”“反思”的结论细化为解题教学的目标，并分阶段实施。
2.以单元大概念“铺路”，设计教学的流程，发展解题思维。比如，上文的例1是体现单元大概念分类讨论与参数分离的较好载体。解题思路如下。
对函数f（x）=（x-a）2lnx直接求导，得f′（x）=（x-a）（2lnx+x-ax），要求f（x）的最大值，则需对参数a进行分类讨论。
当x∈（0，1]时，f（x）≤0<4e2显然成立;当x∈（1，3e]时，对（x-a）2lnx≤4e2进行参数分离，得x-2elnx≤a≤x+2elnx。
接着，教师可以“比较两种思路孰优孰劣”为主线，设计教学流程。
3.以课时大概念“行路”，提炼解题技巧，明确探究任务。还是以上文例1为例，若以“简化讨论”作为课时大概念，那么對f′（x）=（x-a）（2lnx+x-ax）就可以用“必要性探路”的策略进行解答。若以“放缩变形”作为课时大概念，对于x-2elnx≤a≤x+2elnx，令g（x）=x-2elnx，显然g（x）在定义域内单调递增，则gmax（x）=g（3e）=3e-2eln3e;令h（x）=x+2elnx，求导不容易判断h（x）的单调性，如果借助不等式lnx≤xe进行放缩，就会变得容易得多。因此，这节课就可以专门探讨关于自然对数lnx的放缩技巧（x-1x≤lnx≤x-1）及其应用。
波利亚反对让学生做大量的题目，他认为，如果一位数学教师把分配给他的时间塞满了例行运算来训练学生，那这位教师就扼杀了学生的学习兴趣，妨碍了学生的智力发展，这是波利亚所信奉的解题教学“理由”。虽然每位教师都有自己的解题教学“理由”，但在以发展核心素养为育人目标的教育背景下，数学“大概念”理应成为解题教学“理由”的主要依据。
参考文献：
[1]张辉蓉.数学解题教学是非之争及思考[J].中国教育学刊，2010（5）：38-42.
[2]闫滨. 高中学生数学解题经验对解题思路的影响[J]. 现代基础教育研究，2012（4）：193-197.
[3]刘徽.“大概念”视角下的单元整体教学构型：兼论素养导向的课堂变革[J].教育研究，2020（6）：64-77.
（责任编辑：陆顺演）