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小时候学数学，教师通常会让我们“背法则”，先把法则背熟练，再依据法则一步一步做，做熟练了就会掌握。至于为什么要有这样的法则，是从来不问的，就像太阳总是从东方升起一样，既然是法则，自然是天定的，哪有为什么呢？现在，我们在教学生学数学时，通常会有一个设计，让学生在这个设计中得出法则，从而让他们明白法则不是横空出世的，而是有来龙去脉的。
自然，这样的教学的确很有必要。本文以“分数除以整数”为例，来说明我们应该如何让学生明白这个道理，或者说我们如何来向学生讲明白法则的道理，即为什么要这样算？
一、教材的“讲述”与学生的“理解”
算法中，数“分数除以整数”最难理解。例如，÷3，书本上是用“图”来帮助学生理解的。
图一：画出。
图二：把 平均分成3份。
图三：得到 。
这个过程显然是正确的，但从学生的角度来理解，问题是十分大的，他是这样理解的。
图一：画出 。
图二：把 平均分成3份。
图三：结论，得到 。
教材的意图与学生的理解之间的差别在于：教材是将 的单位“1”作为单位“1”继续分割为3份，学生的理解是将 作为单位“1”分割成3份。当学生难以理解时，他们便会以记住法则为主，这样又会沦入我们从前的学习样式中。
那么，我们能否找到另外一种让学生明白的方法呢？
二、算法的来龙去脉
我们让学生明白算法，需要明白算法的来龙去脉、运算教学的整个体系，可表述为以下流程。
从这个流程图中，算法来源于算理的熟能生巧，算理来源于意义的运用。书本中提供的范例是用原型来支撑算法的理解的。我曾就算律怎么教写过一篇文章，书中也用原型来支撑算律的理解。但什么都回到原型去，可能不是一个合理思路。用原型来支撑意义的理解是理所当然的，但什么都用原型来支撑，可能是机械主义了。
我们可以从意义与算理出发，来支撑算法的理解。
三、从意义到算法
材料1：说说算式的意义。
2× 表示 。
2÷3表示 。
讨论：2× 表示2平均分成3份，每份是多少？
2÷3表示2平均分成3份，每份是多少？
材料2：根据意义写出合理的算式。
把 平均分成3份，每份是多少？
讨论：既可以写成 ×，也可以写成 ÷3。进一步讨论：×=÷3。
材料3：填空，思考怎么填得又对又快？
÷2=×（ ）
÷4=×（ ）
÷3=×（ ）
讨论：填上除数的倒数。
进一步讨论：除以一个数等于乘以它的倒数。
材料4：计算。
÷3
讨论：可以将÷3转化为×进行计算。
理由是：÷3的意义与×的意义完全相同。
四、结论
用意义来支撑算法的理解，呈现出一个完整的具有探究发现特质的思考过程，其气脉十分通畅。
用原型来支撑算法的理解，其过程生涩滞晦，讲解者与听讲者之间的关于单位“1”的不同横亘其间而又无法讲清。
现在的教材设计中，总是要去找原型，是不是对生活化的机械理解？数学本身是生动的，是相生的，原型生出意义十分合适，但并不等于可以生出所有东西。这就如同祖父可以生出父亲，但祖父生出孙子，总是不妥的。
（责任编辑：孙建辉）
自然，这样的教学的确很有必要。本文以“分数除以整数”为例，来说明我们应该如何让学生明白这个道理，或者说我们如何来向学生讲明白法则的道理，即为什么要这样算？
一、教材的“讲述”与学生的“理解”
算法中，数“分数除以整数”最难理解。例如，÷3，书本上是用“图”来帮助学生理解的。
图一：画出。
图二：把 平均分成3份。
图三：得到 。
这个过程显然是正确的，但从学生的角度来理解，问题是十分大的，他是这样理解的。
图一：画出 。
图二：把 平均分成3份。
图三：结论，得到 。
教材的意图与学生的理解之间的差别在于：教材是将 的单位“1”作为单位“1”继续分割为3份，学生的理解是将 作为单位“1”分割成3份。当学生难以理解时，他们便会以记住法则为主，这样又会沦入我们从前的学习样式中。
那么，我们能否找到另外一种让学生明白的方法呢？
二、算法的来龙去脉
我们让学生明白算法，需要明白算法的来龙去脉、运算教学的整个体系，可表述为以下流程。
从这个流程图中，算法来源于算理的熟能生巧，算理来源于意义的运用。书本中提供的范例是用原型来支撑算法的理解的。我曾就算律怎么教写过一篇文章，书中也用原型来支撑算律的理解。但什么都回到原型去，可能不是一个合理思路。用原型来支撑意义的理解是理所当然的，但什么都用原型来支撑，可能是机械主义了。
我们可以从意义与算理出发，来支撑算法的理解。
三、从意义到算法
材料1：说说算式的意义。
2× 表示 。
2÷3表示 。
讨论：2× 表示2平均分成3份，每份是多少？
2÷3表示2平均分成3份，每份是多少？
材料2：根据意义写出合理的算式。
把 平均分成3份，每份是多少？
讨论：既可以写成 ×，也可以写成 ÷3。进一步讨论：×=÷3。
材料3：填空，思考怎么填得又对又快？
÷2=×（ ）
÷4=×（ ）
÷3=×（ ）
讨论：填上除数的倒数。
进一步讨论：除以一个数等于乘以它的倒数。
材料4：计算。
÷3
讨论：可以将÷3转化为×进行计算。
理由是：÷3的意义与×的意义完全相同。
四、结论
用意义来支撑算法的理解，呈现出一个完整的具有探究发现特质的思考过程，其气脉十分通畅。
用原型来支撑算法的理解，其过程生涩滞晦，讲解者与听讲者之间的关于单位“1”的不同横亘其间而又无法讲清。
现在的教材设计中，总是要去找原型，是不是对生活化的机械理解？数学本身是生动的，是相生的，原型生出意义十分合适，但并不等于可以生出所有东西。这就如同祖父可以生出父亲，但祖父生出孙子，总是不妥的。
（责任编辑：孙建辉）