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【摘要】复变函数的建立和发展与解决实际问题有密切关系，本文利用复变函数的保角变换的理论，把横截面为两平行圆柱换成横截面为两平行板，计算出平行圆柱单位长度的电容.利用解析函数的性质，研究平面向量场.
【关键词】保角变换 解析函数 反三角变换 电容器
1 引言
在19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西，德国数学家黎曼和魏尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学，解析数论，微分方程，概率统计，计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学和电学等方面也有很多应用，20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理，随着社会越来越快的发展，一些精高技术与复变函数有了很大的联系，比如：解决如何把截面为两平行圆柱变为两平行板，从而研究两平行圆柱单位长度的电容，电势的问题.了解复变函数与实际生活中物体的用途有很重要的意义，从以下几个方面谈论复变函数在物理方面的应用.
2 结合复变函数对非平行板电容器进行了分析
从电动力学出发，结合复变函数对平行板电容器进行了分析，找到非平行板电容器电容的一种算法，并通过实例分析了他们在实际中的应用.
设函数为复变函数.取对数函数为复变函数，
，令代入上式有： .
比较得，.
当为常数时，平面上为平行于纵轴的的直线族，而在平面，常数的同心圆（弧）族.
当常数时，在平面上为平行于横轴的，直线族，在z平面上为=常数的径向直线族.
可以确定边界条件：
，; ， .
，; ，.
为负电极板与X轴夹角，为正电极板与X轴夹角，-.
（设非平行板电容器板长为，宽为，板间电压为，量为极板间延长交于，夹角
为，两板间窄端和宽端到原点距分别为，.，板间距为）.
由边界条件：作平面图所示：
由保角变换，原电容器成为与横轴，纵轴平行的平行板电容器.
求得板间距为：，板宽.
板面积为：.
电容器==. （1）
例 设非平行板电容器的极板=0.8，极板宽=0.2，=，=0.4，=0.8，极板的带电量=4.910C，求此电容的电容.
解 由（1）式 此电容器的电容
C==.
（1） 式是针对一般情况下的非平行板电容器推出的计算电容的公式，在应用中要注意其是否满足条件.
3 计算两平行圆柱的电容，电势
已经把平面平行圆柱的横截面变换成平面上是平行板的横截面，则根据图（2）可视为平行板电容器问题处理.平面上，细和粗的两平行圆柱所带的单位长度电量为和-之间的电压为，同样，在平面上所带电量和电压也是不变的，其电容值比变，进而，也可以计算出平面上截面为细和粗的两平行圆柱的电势，用平行电容器电容公式，可求出平面上（图2）平行板电容器每单位长度电容值为
=
有（8）式 ;. （2）
;. （3）
由（2）式和（3）分别消去和，得出对平行板电容器每单位长度带电量为（变换前后电量不变）的图2来说，可利用静电长的高斯定理计算其电场强度为，选带负电极板的电势为0.
两极板间的电势差与变换前的电势差（电压）相同，为了计算半径不同的两平行圆柱的电势，任选图2中处（两极板之间）则是对应平面上的第个圆柱面（环），其半径为，从图
2来分析电势，并考虑与电场强度的关系得：
=.
4 解析函数在流体力学中的应用
设在区域内有一无源，漏的无旋流动，从以上的讨论，即知其对应的复速度为解析函数，我们称函数.
对于无源，漏的无旋流动，复势总是存在的.令为某一流动的复势，我们称为所述流动的势函数.称 （为实常数）为势线，称为所流动的流函数，称 （为实常数）为流线.
因为 ，
所以 ， .
又因为 流线上点的速度方向与该点的切线方向一致，即该线的微分方程为：
即.
而为调和函数，我们有 ， 于是 .
所以 是流线方程的积分曲线.
注 流线与势线在流速不为零的点处互相正交.
例 设复势为试确定流线，势线和速度
解 令则=
所以 势函数和流函数为 .
.
故势线及流线是互相正交的两族等势双曲线，在点的速度为：
=.
通过上面的讨论，我们知道，利用解析函数多电场进行研究是十分理想的，它可将对电场的电位和电通的研究联系起来，克服了分别研究的复杂手续，而且使问题得到简化.但找出这样的解析函数是极不容易的.因此，一般是将问题反转过来，不是根据电场去找解析函数，而是先研究一些不同的解析函数，找出它们所表示的电场图形，再由这些电场的图形，推出带电导体的形状.
【参考文献】
[1]梁困淼.数学物理方法[M].第三版.北京：高等教育出版社，
1998：426-444
[2]游荣义.椭圆柱形电容器电容[J].大学物理， 2001，20（12）：
26-27
[3]孙清华，孙昊.复变函数内容，方法与技巧.武汉：华中科技大学出版社，2003
[4]肖红.实验物理教程[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1998：243-249
【关键词】保角变换 解析函数 反三角变换 电容器
1 引言
在19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西，德国数学家黎曼和魏尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学，解析数论，微分方程，概率统计，计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学和电学等方面也有很多应用，20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理，随着社会越来越快的发展，一些精高技术与复变函数有了很大的联系，比如：解决如何把截面为两平行圆柱变为两平行板，从而研究两平行圆柱单位长度的电容，电势的问题.了解复变函数与实际生活中物体的用途有很重要的意义，从以下几个方面谈论复变函数在物理方面的应用.
2 结合复变函数对非平行板电容器进行了分析
从电动力学出发，结合复变函数对平行板电容器进行了分析，找到非平行板电容器电容的一种算法，并通过实例分析了他们在实际中的应用.
设函数为复变函数.取对数函数为复变函数，
，令代入上式有： .
比较得，.
当为常数时，平面上为平行于纵轴的的直线族，而在平面，常数的同心圆（弧）族.
当常数时，在平面上为平行于横轴的，直线族，在z平面上为=常数的径向直线族.
可以确定边界条件：
，; ， .
，; ，.
为负电极板与X轴夹角，为正电极板与X轴夹角，-.
（设非平行板电容器板长为，宽为，板间电压为，量为极板间延长交于，夹角
为，两板间窄端和宽端到原点距分别为，.，板间距为）.
由边界条件：作平面图所示：
由保角变换，原电容器成为与横轴，纵轴平行的平行板电容器.
求得板间距为：，板宽.
板面积为：.
电容器==. （1）
例 设非平行板电容器的极板=0.8，极板宽=0.2，=，=0.4，=0.8，极板的带电量=4.910C，求此电容的电容.
解 由（1）式 此电容器的电容
C==.
（1） 式是针对一般情况下的非平行板电容器推出的计算电容的公式，在应用中要注意其是否满足条件.
3 计算两平行圆柱的电容，电势
已经把平面平行圆柱的横截面变换成平面上是平行板的横截面，则根据图（2）可视为平行板电容器问题处理.平面上，细和粗的两平行圆柱所带的单位长度电量为和-之间的电压为，同样，在平面上所带电量和电压也是不变的，其电容值比变，进而，也可以计算出平面上截面为细和粗的两平行圆柱的电势，用平行电容器电容公式，可求出平面上（图2）平行板电容器每单位长度电容值为
=
有（8）式 ;. （2）
;. （3）
由（2）式和（3）分别消去和，得出对平行板电容器每单位长度带电量为（变换前后电量不变）的图2来说，可利用静电长的高斯定理计算其电场强度为，选带负电极板的电势为0.
两极板间的电势差与变换前的电势差（电压）相同，为了计算半径不同的两平行圆柱的电势，任选图2中处（两极板之间）则是对应平面上的第个圆柱面（环），其半径为，从图
2来分析电势，并考虑与电场强度的关系得：
=.
4 解析函数在流体力学中的应用
设在区域内有一无源，漏的无旋流动，从以上的讨论，即知其对应的复速度为解析函数，我们称函数.
对于无源，漏的无旋流动，复势总是存在的.令为某一流动的复势，我们称为所述流动的势函数.称 （为实常数）为势线，称为所流动的流函数，称 （为实常数）为流线.
因为 ，
所以 ， .
又因为 流线上点的速度方向与该点的切线方向一致，即该线的微分方程为：
即.
而为调和函数，我们有 ， 于是 .
所以 是流线方程的积分曲线.
注 流线与势线在流速不为零的点处互相正交.
例 设复势为试确定流线，势线和速度
解 令则=
所以 势函数和流函数为 .
.
故势线及流线是互相正交的两族等势双曲线，在点的速度为：
=.
通过上面的讨论，我们知道，利用解析函数多电场进行研究是十分理想的，它可将对电场的电位和电通的研究联系起来，克服了分别研究的复杂手续，而且使问题得到简化.但找出这样的解析函数是极不容易的.因此，一般是将问题反转过来，不是根据电场去找解析函数，而是先研究一些不同的解析函数，找出它们所表示的电场图形，再由这些电场的图形，推出带电导体的形状.
【参考文献】
[1]梁困淼.数学物理方法[M].第三版.北京：高等教育出版社，
1998：426-444
[2]游荣义.椭圆柱形电容器电容[J].大学物理， 2001，20（12）：
26-27
[3]孙清华，孙昊.复变函数内容，方法与技巧.武汉：华中科技大学出版社，2003
[4]肖红.实验物理教程[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1998：243-249