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【摘要】作为数学学科核心素养的一个基本方面，“数学运算”素养对学生的数学学习及发展尤其重要，因为具备良好的运算素养是学好数学的基础性条件.向量的数量积运算作为一种含有方向因素的特殊运算，一方面，对学生运算素养的要求较高;另一方面，也是培养学生运算素养的良好载体.文章以之为例探讨了在实际教学中如何兼顾学生数学运算素养的培养，希望对相关教学工作者有所助益.
【关键词】核心素养;高中数学;向量数量积;教学实践
核心素养是新一轮课程改革的亮点之一.作为数学学科核心素养的一个基本方面，“数学运算”素养对学生的数学学习及发展尤其重要，因为具备良好的运算素养是学好数学的基础性条件，正如新课标中所明确指出的，“数学运算是数学活动的基本形式”，“是得到数学结果的重要手段”.而向量的数量积运算作为一种含有方向因素的特殊运算，一方面，对学生运算素养的要求较高;另一方面，也是培养学生运算素养的良好载体.这也是本文以之作为案例的原因所在.以下拟对此展开具体而较为细致的探讨，希望对相关教学工作者有所助益.
一、切实明晰概念，奠定良好基础
按照课标中的阐述，核心素养的本质是“必备品格和关键能力”，其养成无疑离不开大量的运算训练.而实施运算活动的基础无疑是对相关运算量概念的切实理解.由于向量数量积的运算是一种设计方向和角度的特殊运算，且较为抽象，更对学生的空间想象能力有一定要求，因而，概念的切实明晰就更显得至关重要.在实际教学中，笔者是通过提出问题的方式引导学生思考、理解概念中隐含的要点，从而使其最终切实掌握概念.具体来说，在引出定义的基本描述后，首先提出如下两个问题：“① 定义中两个非零向量的夹角的范围？② 向量数量积运算与线性运算有何区别？向量数量积大小的影响因素有哪些？”学生搞清了这两个问题，也就掌握了定义的基本要点.然后则是在此基础上理解投影的含义以及向量数量积的几何意义，对此，在用多媒体直观展示的同时提出如下问题：“① 向量数量积和投影均为数量，其何时为正，何时为负，是否可能为零？② 数量积a·b与b在a方向上的投影有何种关系？③ 在理解投影含义的基础上叙述向量积的几何意义.”可以看出，学生回答出以上问题后，对向量数量积的概念、要点及相关的需要注意的地方也就掌握得比较到位，从而为锻炼核心素养奠定坚实基础.
二、探究数量积的性质与运算律
掌握概念后，下一步就是学习向量数量积的性质和运算律.在这一环节中笔者仍是采取提出问题让学生自主探究的方式，这主要是为了使学生充分发挥主观能动性，在自主性的思考和探索过程中深入理解知识点并掌握其本质，从而留下深刻印象并快速实现知识内化，为核心素养的提升提供有利条件.该环节中提出的第一个问题侧重基础性：“① a⊥b的充分必要条件是？② a与b方向相同，则a·b=？方向相反时呢？③ a·a=？或|a|=？④ cosθ=？⑤|a·a|≤|a||b|，何时取等号？”在学生回答上述问题后即引出运算律：“大家知道实数乘法满足交换率、结合律、分配率，那么类比于此，向量数量积的计算满足什么样的运算律呢？请结合刚才所掌握的知识自主推导出以下式子：a·b=b·a;（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）;（a a）·c=a·c b·c.”三個式子中第一个很简单，多数学生可以完成;第二个，如果按照数量积的定义展开会出现困难，因而，笔者更给了适当的提示：分λ
【关键词】核心素养;高中数学;向量数量积;教学实践
核心素养是新一轮课程改革的亮点之一.作为数学学科核心素养的一个基本方面，“数学运算”素养对学生的数学学习及发展尤其重要，因为具备良好的运算素养是学好数学的基础性条件，正如新课标中所明确指出的，“数学运算是数学活动的基本形式”，“是得到数学结果的重要手段”.而向量的数量积运算作为一种含有方向因素的特殊运算，一方面，对学生运算素养的要求较高;另一方面，也是培养学生运算素养的良好载体.这也是本文以之作为案例的原因所在.以下拟对此展开具体而较为细致的探讨，希望对相关教学工作者有所助益.
一、切实明晰概念，奠定良好基础
按照课标中的阐述，核心素养的本质是“必备品格和关键能力”，其养成无疑离不开大量的运算训练.而实施运算活动的基础无疑是对相关运算量概念的切实理解.由于向量数量积的运算是一种设计方向和角度的特殊运算，且较为抽象，更对学生的空间想象能力有一定要求，因而，概念的切实明晰就更显得至关重要.在实际教学中，笔者是通过提出问题的方式引导学生思考、理解概念中隐含的要点，从而使其最终切实掌握概念.具体来说，在引出定义的基本描述后，首先提出如下两个问题：“① 定义中两个非零向量的夹角的范围？② 向量数量积运算与线性运算有何区别？向量数量积大小的影响因素有哪些？”学生搞清了这两个问题，也就掌握了定义的基本要点.然后则是在此基础上理解投影的含义以及向量数量积的几何意义，对此，在用多媒体直观展示的同时提出如下问题：“① 向量数量积和投影均为数量，其何时为正，何时为负，是否可能为零？② 数量积a·b与b在a方向上的投影有何种关系？③ 在理解投影含义的基础上叙述向量积的几何意义.”可以看出，学生回答出以上问题后，对向量数量积的概念、要点及相关的需要注意的地方也就掌握得比较到位，从而为锻炼核心素养奠定坚实基础.
二、探究数量积的性质与运算律
掌握概念后，下一步就是学习向量数量积的性质和运算律.在这一环节中笔者仍是采取提出问题让学生自主探究的方式，这主要是为了使学生充分发挥主观能动性，在自主性的思考和探索过程中深入理解知识点并掌握其本质，从而留下深刻印象并快速实现知识内化，为核心素养的提升提供有利条件.该环节中提出的第一个问题侧重基础性：“① a⊥b的充分必要条件是？② a与b方向相同，则a·b=？方向相反时呢？③ a·a=？或|a|=？④ cosθ=？⑤|a·a|≤|a||b|，何时取等号？”在学生回答上述问题后即引出运算律：“大家知道实数乘法满足交换率、结合律、分配率，那么类比于此，向量数量积的计算满足什么样的运算律呢？请结合刚才所掌握的知识自主推导出以下式子：a·b=b·a;（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）;（a a）·c=a·c b·c.”三個式子中第一个很简单，多数学生可以完成;第二个，如果按照数量积的定义展开会出现困难，因而，笔者更给了适当的提示：分λ