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一、 选择题（每小题3分，共24分）
1. 在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（ ）.
A. 2xy+x2=1 B. y2-ax+2=0 C. y+x2-2=0 D. x2-y2+4=0
2. 设等边三角形的边长为x（x>0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）.
A. y=■x2 B. y=■x2 C. y=■x2 D. y=■x2
3. 下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中，正确的是（ ）.
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=1
C. 与x轴有两个交点 D. 顶点坐标为（-1，0）
4. 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）.
A. k>-■ B. k≥-■且k≠0
C. k<-■ D. k>-■且k≠0
5. 已知二次函数y=-■x2-7x+■，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0 A. y1>y2>y3 B. y1y3>y1 D. y2 6. 对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2-t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（ ）.
A. （1，0） B. （-1，0） C. （-1，3） D. （1，3）
7. 如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a>0；②2a+b=0；③a+b+c>0；④当-10.其中正确的个数为（ ）.
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
8. 二次函数y=2x2+mx-5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x2 1+x2 2=■，则m的值为（ ）.
A. 3 B. -3 C. 3或-3 D. 以上都不对
二、 填空题（每小题2分，共20分）
9. 二次函数y=x2-4x+6的顶点坐标为______.
10. 二次函数y=2x2-4x-1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b=______，c=______.
11. 若二次函数y=（m+8）x2+2x+m2-64的图象经过原点，则m=______.
12. 如果函数y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1是二次函数，那么k的值一定是______.
13. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元，其销售量将减少10件，则他将出售价定为______，才能使每天所获利润最大.
14. 对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是______.
15. 设A、B、C三点依次是抛物线y=x2-2x-5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是______.
16. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=______.
17. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_______.
18. 已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是______.
三、 解答题（第19题7分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，计56分）
19. 已知抛物线的顶点为（-1，-3），与y轴的交点为（0，-5），求这个抛物线的解析式.
20. 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，请你确定关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解.
21. 方芳在一次投掷铅球时，刚出手时铅球离地面的■ m，铅球运行的水平距离为4 m时达到最高，高度为3 m，如图所示：
（1） 请确定这个抛物线的顶点坐标；
（2） 求抛物线的函数关系式；
（3） 方芳这次投掷成绩大约是多少？
22. 如图，在同一直角坐标系中，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），一次函数的图象与二次函数的图象交于B、C两点. 求：
（1） 一次函数与二次函数的解析式.
（2） 当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？
（3） 当自变量x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？
（4） 当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0？
23. 如图3，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.
（1） 求直线和抛物线所表示的函数表达式；
（2） 在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD=S△OBC，若不存在，说明理由；若存在，请求出点D的坐标.
24. 如图，已知抛物线经过O（0，0），A（4，0），B（3，■）三点，连接AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.
（1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段OA向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为t（秒）（0 ①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；
③是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1. C 2. D 3. D 4. C 5. A 6. D 7. C 8. C 9. （2，2） 10. -8 7 11. 8
12. 0 13. 14 14. -■ 15. 5■ 16. -4 17. y=-■（x-20）2+16 18. y=x2-1（答案不唯一）
19. ∵抛物线的顶点为（-1，-3），∴ 设其解析式为y=a（x+1）2-3. ①
将（0，-5）代入①得-5=a-3，∴a=-2. 故所求抛物线的解析式为y=-2（x+1）2-3，即y=-2x2-4x-5.
20. ∵抛物线的对称轴x1=1，与x轴的一个交点坐标是（3，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1，0）. ∴关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3.
21. （1） （4，3）
（2） 设抛物线的函数关系式为：y=a（x-h）2+k，因为顶点坐标为（4，3），所以有y=a（x-4）2+3，又因为点0，■在抛物线上，所以有■=a（0-4）2+3，所以y=-■（x-4）2+3.
（3） 当y=0时，有0=-■（x-4）2+3，解得x1=10，x2=-2. 所以方芳这次投掷的成绩大约是10米.
22. （1） 一次函数的解析式为y=x-3. 二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
（2） 当x≥1时，两函数的函数值都能随x的增大而增大.
（3） 当0 （4） 当x<-1时，两函数值的积小于0.
23. （1） 设直线表达式为y=ax+b. ∵A（2，0），B（1，1）都在y=ax+b的图象上，
∴0=2a+b，1=a+b.∴a=-1，b=2.∴直线AB的表达式y=-x+2.
∵点B（1，1）在y=ax2的图象上，∴a=1，其表达式为y=x2.
（2） 存在点C坐标为（-2，4），设D（x，x2）.
∴S△OAD=OA·yD=■×2·x2=x2.
∴S△BOC=S△AOC-S△OAB=■×2×4-■×2×1=3.
∵S△BOC=S△OAD，∴x2=3，即x=±■. ∴D点坐标为（-■，3）或（■，3）.
24. （1） y=-■x2+■x.
（2） ①过点B作BE⊥x轴于E，则BE=■，AE=1，AB=2.
由tan∠BAE=■=■，得∠BAE =60°.
（ⅰ） 当点Q在线段AB上运动，即0 ∵-■<0，∴当t=2时，S有最大值，最大值S=■；
（ⅱ） 当点Q在线段BC上运动，即2≤t<4时，Q点的纵坐标为■，PA=4-t. 这时，S=■（4-t）·■=-■t+2■，∵-■<0，∴S随着t的增大而减小.
∴当t=2时，S有最大值，最大值S=-■·2+2■=■.
综合（ⅰ）（ⅱ），当t=2时，S有最大值，最大值为■. △PQA是等边三角形.
③存在. 当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA，即4-t=2t，∴t=■.
∴P、Q两点的坐标分别为P1■，0，Q1■，■.
当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为（4-1）-（t-2）=5-t和t，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-t=t，∴t=■，
∴P、Q两点的坐标分别为P2■，0，Q2■，■.
1. 在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（ ）.
A. 2xy+x2=1 B. y2-ax+2=0 C. y+x2-2=0 D. x2-y2+4=0
2. 设等边三角形的边长为x（x>0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）.
A. y=■x2 B. y=■x2 C. y=■x2 D. y=■x2
3. 下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中，正确的是（ ）.
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=1
C. 与x轴有两个交点 D. 顶点坐标为（-1，0）
4. 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）.
A. k>-■ B. k≥-■且k≠0
C. k<-■ D. k>-■且k≠0
5. 已知二次函数y=-■x2-7x+■，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0
A. （1，0） B. （-1，0） C. （-1，3） D. （1，3）
7. 如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a>0；②2a+b=0；③a+b+c>0；④当-1
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
8. 二次函数y=2x2+mx-5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x2 1+x2 2=■，则m的值为（ ）.
A. 3 B. -3 C. 3或-3 D. 以上都不对
二、 填空题（每小题2分，共20分）
9. 二次函数y=x2-4x+6的顶点坐标为______.
10. 二次函数y=2x2-4x-1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b=______，c=______.
11. 若二次函数y=（m+8）x2+2x+m2-64的图象经过原点，则m=______.
12. 如果函数y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1是二次函数，那么k的值一定是______.
13. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元，其销售量将减少10件，则他将出售价定为______，才能使每天所获利润最大.
14. 对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是______.
15. 设A、B、C三点依次是抛物线y=x2-2x-5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是______.
16. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=______.
17. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_______.
18. 已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是______.
三、 解答题（第19题7分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，计56分）
19. 已知抛物线的顶点为（-1，-3），与y轴的交点为（0，-5），求这个抛物线的解析式.
20. 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，请你确定关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解.
21. 方芳在一次投掷铅球时，刚出手时铅球离地面的■ m，铅球运行的水平距离为4 m时达到最高，高度为3 m，如图所示：
（1） 请确定这个抛物线的顶点坐标；
（2） 求抛物线的函数关系式；
（3） 方芳这次投掷成绩大约是多少？
22. 如图，在同一直角坐标系中，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），一次函数的图象与二次函数的图象交于B、C两点. 求：
（1） 一次函数与二次函数的解析式.
（2） 当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？
（3） 当自变量x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？
（4） 当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0？
23. 如图3，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.
（1） 求直线和抛物线所表示的函数表达式；
（2） 在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD=S△OBC，若不存在，说明理由；若存在，请求出点D的坐标.
24. 如图，已知抛物线经过O（0，0），A（4，0），B（3，■）三点，连接AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.
（1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段OA向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为t（秒）（0
②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；
③是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1. C 2. D 3. D 4. C 5. A 6. D 7. C 8. C 9. （2，2） 10. -8 7 11. 8
12. 0 13. 14 14. -■ 15. 5■ 16. -4 17. y=-■（x-20）2+16 18. y=x2-1（答案不唯一）
19. ∵抛物线的顶点为（-1，-3），∴ 设其解析式为y=a（x+1）2-3. ①
将（0，-5）代入①得-5=a-3，∴a=-2. 故所求抛物线的解析式为y=-2（x+1）2-3，即y=-2x2-4x-5.
20. ∵抛物线的对称轴x1=1，与x轴的一个交点坐标是（3，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1，0）. ∴关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3.
21. （1） （4，3）
（2） 设抛物线的函数关系式为：y=a（x-h）2+k，因为顶点坐标为（4，3），所以有y=a（x-4）2+3，又因为点0，■在抛物线上，所以有■=a（0-4）2+3，所以y=-■（x-4）2+3.
（3） 当y=0时，有0=-■（x-4）2+3，解得x1=10，x2=-2. 所以方芳这次投掷的成绩大约是10米.
22. （1） 一次函数的解析式为y=x-3. 二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
（2） 当x≥1时，两函数的函数值都能随x的增大而增大.
（3） 当0
23. （1） 设直线表达式为y=ax+b. ∵A（2，0），B（1，1）都在y=ax+b的图象上，
∴0=2a+b，1=a+b.∴a=-1，b=2.∴直线AB的表达式y=-x+2.
∵点B（1，1）在y=ax2的图象上，∴a=1，其表达式为y=x2.
（2） 存在点C坐标为（-2，4），设D（x，x2）.
∴S△OAD=OA·yD=■×2·x2=x2.
∴S△BOC=S△AOC-S△OAB=■×2×4-■×2×1=3.
∵S△BOC=S△OAD，∴x2=3，即x=±■. ∴D点坐标为（-■，3）或（■，3）.
24. （1） y=-■x2+■x.
（2） ①过点B作BE⊥x轴于E，则BE=■，AE=1，AB=2.
由tan∠BAE=■=■，得∠BAE =60°.
（ⅰ） 当点Q在线段AB上运动，即0
（ⅱ） 当点Q在线段BC上运动，即2≤t<4时，Q点的纵坐标为■，PA=4-t. 这时，S=■（4-t）·■=-■t+2■，∵-■<0，∴S随着t的增大而减小.
∴当t=2时，S有最大值，最大值S=-■·2+2■=■.
综合（ⅰ）（ⅱ），当t=2时，S有最大值，最大值为■. △PQA是等边三角形.
③存在. 当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA，即4-t=2t，∴t=■.
∴P、Q两点的坐标分别为P1■，0，Q1■，■.
当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为（4-1）-（t-2）=5-t和t，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-t=t，∴t=■，
∴P、Q两点的坐标分别为P2■，0，Q2■，■.