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【摘 要】 本文利用MATLAB編程，采用Pb-2Ritz法应用三阶剪切变形理论（TSDT）研究矩形板的自由振动。该模型采用柱支承的下端固定支承、柱支承模型为面支承考虑，针对不同弹性边界和柱支承多种支承情况，构建柱支承截面边长、柱高和柱位置变化常见影响因素的影响体系并得到精确解，对改善结构安全稳定性有一定参考价值。
【关键词】 三阶剪切变形；自由振动；Pb-2 Ritz法；弹性边界；柱支承
【中图分类号】 O322 【文献标识码】 A 【文章编号】 2096-4102（2018）05-0131-03
1基于三阶剪切变形矩形板自由振动概述
实际工程中板的振动问题和边界约束有关，在工程结构分析中广泛应用的结构模型是弹性支承板模型，对弹性支承板的分析40多年来也一直是工程师所关心的问题。弹性支承板在工程上主要指柱支承板，在这种模型中柱支承常常简化为刚性点支承、弹性点支承等模型。为了克服经典薄板理论的局限性，人们建立了一阶剪切变形理论，并在此基础上提出了多种高阶剪切变形模型。根据模式中高阶项函数形式的不同，常见的高阶剪切变形模型有三阶剪切模型、正弦剪切模型、双曲剪切模型和指数剪切模型等。L.H.Wu等根据中厚板理论给出了任意四边形中厚板自由振动时的最大应变能和最大动能、三阶剪切变形理论板在x，y，z三个方向的挠度。
本文采用基于用Pb-2Ritz形函数表示的能量泛函代入坐标变换后的能量表达式推导控制方程的研究方法求解振动频率，对于三阶剪切变形模型的剪切系数k=5/6。文中假设弹簧刚度KL，KR，KT分别为弹性边界上单位长度的竖向刚度、转动刚度和扭转刚度，分别为：
2柱的参数对矩形板无量纲固有频率的影响
本文列举了两个算例：基于三阶剪切理论，算例一分别计算了中心柱支承四边简支和四边固定边界条件下不同柱截面边长和柱高时板自由振动的频率因数，并给出了振型图及变化规律图；算例二研究了弹性边界不同柱位置支承对频率的影响，并给出了振型图及变化规律图。
算例一：考虑中心有方柱支承的四边弹性（EEEE）板的自由振动，弹簧与板的刚度系数比μL=108，μR=μT=0，相当于四边简支；μL=μR=μD=108，相当于四边固定。板的长度a=30m，板的宽度b=10m，板厚t=0.3m，方柱支承截面的边长为b1，柱高为H，柱的刚度系数为1010N/m3，板的弹性模量E=31×109N/m2，ρ=2500kg/m3为质量密度，泊松比μ=0.3，剪切弹性模量为G=E/2（1+μ），板的抗弯刚度D=Et3/12（1-μ2）。ω为固有频率。假设柱的材料参数与板相同，柱支承的下端按固定支承考虑，柱支承模型为面支承，二项式最高次数P=8。讨论该板自由振动时柱支承截面边长和柱高对六阶频率的变化规律，计算结果见表1，变化规律图分别绘于图1和图2。
从表1和图1可以看出：该板的固有频率λ随柱截面边长的增大而增大，变化较大，即柱截面边长对中心有方柱支承的四边弹簧板的无量纲固有频率因子λ的影响较大；从表1和图2可看出：该板的固有频率λ随柱高的增大而减小，变化较小，即柱高对中心有方柱支承的四边弹簧板频率的影响较为缓慢。
图3中图（a）中柱的位置对称分布，四个柱均位于矩形板对角线上且横向距离距中心为5m，距板中心较近；图（b）中柱的位置对称分布，四个柱均位于板的四边且在板的对称轴上；图（c）中柱的位置对称分布，四个柱均位于板的四个角处。
从表2和图4可以看出，当柱子在角点时低阶固有频率为最小，随着柱位置变化低阶频率逐渐增大，而高阶频率呈曲线变化；另外柱子布置在四边时频率要大于柱在中心位置，小于柱在四角位置；从图5和图6可看出在弹性边界条件下，两组振型图十分相近，基本没有变化，说明柱支承的位置对振型的影响很小。
3结论
本文采用MATLAB编程，采用三阶剪切理论对弹性边界柱支承板的振动频率计算结果进行了分析。文中柱支承的下端均按固定支承考虑，柱支承模型均为面支承，二项式最高次数取8作为试函数都取得较好的数值结果。从以上数据可看出，柱边长的变化对频率影响较大，而柱高变化的影响相反；当弹性边界不变且弹性较小时，板的固有频率随柱子的位置移动变化幅度较小，柱子对角线布置时各阶振型基本保持不变，说明柱支承的位置对矩形板的各阶振型影响很小。
【参考文献】
[1]段铁城，李录贤.厚板的高阶剪切变形理论研究[J].力学学报，2016，48（5）：1096-1113.
[2]L.H.Wu，Y.Lu. Free vibration analysis of rectangular plates with internal columns and uniform elastic edge supports by pb-2Ritz method[J].International Journal of Mechanical Sciences，2011（53）：494-504.
[3]Song Xiang，Shao-xi Jiang，Ze-yang Bi. A nth-order meshless generalization of Reddy’s third-order shear deformation theory for the free vibration on laminated compososite plates[J]. Composite Structures，2011（93）：299-307.
[4]A.Alibeigloo，M.R.Kari. Forced vibration analysis of antisymmetric laminated rectangular palates with distributed patch mass using third order shear deformation theory[J].Thin-Walled Structures，2009（47）：653-660.
[5]M.-H.HUANG，D.P.THAMBIRATNAM. free vibration analysis of rectangular paltes on elastic intermediate supports[J]. Journal of Sound and vibration，2001，240（3）：567-580.
【关键词】 三阶剪切变形；自由振动；Pb-2 Ritz法；弹性边界；柱支承
【中图分类号】 O322 【文献标识码】 A 【文章编号】 2096-4102（2018）05-0131-03
1基于三阶剪切变形矩形板自由振动概述
实际工程中板的振动问题和边界约束有关，在工程结构分析中广泛应用的结构模型是弹性支承板模型，对弹性支承板的分析40多年来也一直是工程师所关心的问题。弹性支承板在工程上主要指柱支承板，在这种模型中柱支承常常简化为刚性点支承、弹性点支承等模型。为了克服经典薄板理论的局限性，人们建立了一阶剪切变形理论，并在此基础上提出了多种高阶剪切变形模型。根据模式中高阶项函数形式的不同，常见的高阶剪切变形模型有三阶剪切模型、正弦剪切模型、双曲剪切模型和指数剪切模型等。L.H.Wu等根据中厚板理论给出了任意四边形中厚板自由振动时的最大应变能和最大动能、三阶剪切变形理论板在x，y，z三个方向的挠度。
本文采用基于用Pb-2Ritz形函数表示的能量泛函代入坐标变换后的能量表达式推导控制方程的研究方法求解振动频率，对于三阶剪切变形模型的剪切系数k=5/6。文中假设弹簧刚度KL，KR，KT分别为弹性边界上单位长度的竖向刚度、转动刚度和扭转刚度，分别为：
2柱的参数对矩形板无量纲固有频率的影响
本文列举了两个算例：基于三阶剪切理论，算例一分别计算了中心柱支承四边简支和四边固定边界条件下不同柱截面边长和柱高时板自由振动的频率因数，并给出了振型图及变化规律图；算例二研究了弹性边界不同柱位置支承对频率的影响，并给出了振型图及变化规律图。
算例一：考虑中心有方柱支承的四边弹性（EEEE）板的自由振动，弹簧与板的刚度系数比μL=108，μR=μT=0，相当于四边简支；μL=μR=μD=108，相当于四边固定。板的长度a=30m，板的宽度b=10m，板厚t=0.3m，方柱支承截面的边长为b1，柱高为H，柱的刚度系数为1010N/m3，板的弹性模量E=31×109N/m2，ρ=2500kg/m3为质量密度，泊松比μ=0.3，剪切弹性模量为G=E/2（1+μ），板的抗弯刚度D=Et3/12（1-μ2）。ω为固有频率。假设柱的材料参数与板相同，柱支承的下端按固定支承考虑，柱支承模型为面支承，二项式最高次数P=8。讨论该板自由振动时柱支承截面边长和柱高对六阶频率的变化规律，计算结果见表1，变化规律图分别绘于图1和图2。
从表1和图1可以看出：该板的固有频率λ随柱截面边长的增大而增大，变化较大，即柱截面边长对中心有方柱支承的四边弹簧板的无量纲固有频率因子λ的影响较大；从表1和图2可看出：该板的固有频率λ随柱高的增大而减小，变化较小，即柱高对中心有方柱支承的四边弹簧板频率的影响较为缓慢。
图3中图（a）中柱的位置对称分布，四个柱均位于矩形板对角线上且横向距离距中心为5m，距板中心较近；图（b）中柱的位置对称分布，四个柱均位于板的四边且在板的对称轴上；图（c）中柱的位置对称分布，四个柱均位于板的四个角处。
从表2和图4可以看出，当柱子在角点时低阶固有频率为最小，随着柱位置变化低阶频率逐渐增大，而高阶频率呈曲线变化；另外柱子布置在四边时频率要大于柱在中心位置，小于柱在四角位置；从图5和图6可看出在弹性边界条件下，两组振型图十分相近，基本没有变化，说明柱支承的位置对振型的影响很小。
3结论
本文采用MATLAB编程，采用三阶剪切理论对弹性边界柱支承板的振动频率计算结果进行了分析。文中柱支承的下端均按固定支承考虑，柱支承模型均为面支承，二项式最高次数取8作为试函数都取得较好的数值结果。从以上数据可看出，柱边长的变化对频率影响较大，而柱高变化的影响相反；当弹性边界不变且弹性较小时，板的固有频率随柱子的位置移动变化幅度较小，柱子对角线布置时各阶振型基本保持不变，说明柱支承的位置对矩形板的各阶振型影响很小。
【参考文献】
[1]段铁城，李录贤.厚板的高阶剪切变形理论研究[J].力学学报，2016，48（5）：1096-1113.
[2]L.H.Wu，Y.Lu. Free vibration analysis of rectangular plates with internal columns and uniform elastic edge supports by pb-2Ritz method[J].International Journal of Mechanical Sciences，2011（53）：494-504.
[3]Song Xiang，Shao-xi Jiang，Ze-yang Bi. A nth-order meshless generalization of Reddy’s third-order shear deformation theory for the free vibration on laminated compososite plates[J]. Composite Structures，2011（93）：299-307.
[4]A.Alibeigloo，M.R.Kari. Forced vibration analysis of antisymmetric laminated rectangular palates with distributed patch mass using third order shear deformation theory[J].Thin-Walled Structures，2009（47）：653-660.
[5]M.-H.HUANG，D.P.THAMBIRATNAM. free vibration analysis of rectangular paltes on elastic intermediate supports[J]. Journal of Sound and vibration，2001，240（3）：567-580.