【摘 要】
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定义在曲线上的ODE方程的符号解和数值方法分别是计算机代数和计算数学的热点。这方面的算法很多，但很多都依赖于曲线的显式参数表达式或隐式约束表示。然而在实际应用中，空间
【出 处】
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中国科学院研究生院 中国科学院大学
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定义在曲线上的ODE方程的符号解和数值方法分别是计算机代数和计算数学的热点。这方面的算法很多，但很多都依赖于曲线的显式参数表达式或隐式约束表示。然而在实际应用中，空间曲线通常是通过参数采样得到的，已知的仅是一列有序的采样点的信息。曲线的方程是未知的，所以定义在其上的ODE只能有近似解。试图先对离散点进行某种插值得到曲线的方程，然后运用已有算法的想法是行不通的，因为最终要得到的结果应该是不依赖于曲线填充方式的。
这方面目前直接相关的研究结果很少。基于此，本文提出了离散微分几何的新概念-n阶离散可微曲线。对于定义在离散可微曲线上的有理ODE方程，我们分别在四种可能的情况下给出了寻找有理近似解的完整算法，并且证明了若算法在一个近似精度下没有输出结果，则ODE根本不存在该精度下的有理近似解。我们在Maple平台上实现了符号近似解公式的自动生成算法，并且在Matlab平台上对输出的公式进行了数值实验。最终实验结果支持我们的理论和算法。
做为应用的实例，上述理论和算法被用来研究极小旋转标架(RotationMinimizing Frame，RMF).RMF可以归结为离散可微曲线上一个简单的ODE的初值问题的解。在对曲线单向追踪和正反向追踪的情况下，我们的算法分别生成了单步误差余项为o(u4)和o(u6)的有理近似解公式，这里u是采样的参数步长。同时保证了对于有理近似解，4和6分别是两种情形下最高可能的近似的阶数。
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