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强关联量子多体系统是凝聚态物理的一类重要研究对象，许多物理现象都是从多体相互作用中涌现出来的。量子多体系统的研究的挑战性源于物理自由度会随着粒子数指数发散。除了少数系统能够严格求解，量子多体系统的研究往往需要求助于数值方法。常用的数值方法包括，精确对角化(ED)，量子蒙特卡罗(QMC)和密度矩阵重正化群(DMRG)等。但是，ED所能计算的系统尺寸太小;QMC会存在负符号的问题;DMRG原则上只能处理准一维或者有限的二维系统。 近年来，人们发展出了一系列基于张量网络表示和重正化群技术的新方法，统称为张量重正化群方法。在这类方法中，多体波函数被描述成张量的乘积形式，能够自然地满足纠缠熵的面积定律，可以忠实地近似量子系统的基态。同时，张量重正化群方法不存在负符号的问题，还能够处理热力学极限。因此，张量重正化群方法在二维或者更高维的量子系统的研究中能够发挥重要的作用。在本论文中，我们致力于张量重正化群方法的进展研究。 在绪论部分，我们简单回顾了常见的几种数值方法，并介绍了张量重正化群方法在经典统计模型和量子多体模型中的应用。在随后的第二章，我们详细介绍了张量网络表示——它是利用张量重正化群方法研究具体模型的基础。经典模型的配分函数可以表示成张量网络模型:利用对键上玻尔兹曼权重的分解，格点到键自旋的对偶变换，或者对玻尔兹曼权重的块的划分，我们可以分别得到定义在原始晶格，对偶晶格和块上的张量网络表示。我们需要根据实际情况，选择合适的表示方法。不仅离散自由度的模型，连续自由度的模型亦能近似成张量网络模型。 量子模型的配分函数或者演化算符同样可以表示成张量网络。借助于Trotter-Suzuki分解，我们可以获得d维量子模型的d+1维张量网络表示。量子波函数也可以写成张量网络的形式，称为张量网络态。我们介绍了几种常用的张量网络态，它们分别是矩阵乘积态(MPS)，投影纠缠对态(PEPS)和投影纠缠单形态(PESS)。计算张量网络态的方法包括搜索最低能量的变分方法和基于虚时演化的方法，后者中波函数的更新方式又分为简单更新(Simple Update)，全局更新(Full-Update)和团簇更新（Cluster-Update）。 在第三章，我们对张量网络的求和(Contraction)算法进行了比较研究。计算张量网络态或者物理期望值时，需要对张量网络进行求和。不幸地是，二维以及更高维上的张量网络的精确求和是＃-P完备的问题，这驱使人们发展了一系列基于重正化群技术的近似求和方法。张量网络求和的效率和精度将直接影响整个算法的表现，因此很有必要对现有的方法进行对比研究。现有的求和方法主要可以分为两类。一类是基于转移矩阵的算法，包括将DMRG推广到转移矩阵上的转移矩阵重正化群(TMRG)，结合了角转移矩阵(CTM)和DMRG的角转移矩阵重正化群(CTMRG)，以及将转移矩阵作为演化算符计算边界态演化的时间演化块消减(TEBD)。另一类是基于粗粒化的方法，包括利用局域张量奇异值分解(SVD)的张量重正化群(TRG)，考虑环境重正化效应的二次张量重正化群(SRG)，基于高阶奇异值分解(HOSVD)的高阶张量重正化群(HOSRG)，以及它对应的高阶二次张量重正化群(HOSRG)，还有消除局域纠缠的张量网络重正化(TNR)和圈-张量网络重正化(Loop-TNR)，其中TNR使用了多尺度纠缠拟设(MERA)中的解纠缠算子，Loop-TNR则借助了有限周期MPS的变分近似。 我们将它们应用于二维Ising模型。结果表明，在非临界区域，基于转移矩阵的方法要优于粗粒化方法;而考虑环境效应的SRG(HOSRG)会比对应的TRG(HOTRG)的精度高;基于HOSVD的方法会比对应的基于SVD的方法的精度高，但是HOTRG(HOSRG)要求局域张量的对称性更高。在临界点上，相同的D(D＞28)时，TNR/Loop-TNR会比基于转移矩阵的方法精确，它们的相对误差随着保留维度几乎呈指数下降，但是它们的计算复杂度远远高于基于转移矩阵的方法，后者的保留维度D可以轻松达到200。随后我们对比了各类方法对二维张量网络求和的计算复杂度，讨论了它们的稳定性，以及当张量网络是多子格，有限尺寸，或者三维时的情况。 在第四章，我们改进了基于转移矩阵的求和方法，并将它应用于三维Ising模型。三维张量网络的求和，不仅能用于三维经典统计模型，还可以用于二维量子模型，原因是二维量子模型的配分函数或者时间演化算符可以借助Trotter-Suzuki分解近似为三维的张量网络。虽然HOTRG在三维张量网络的求和中取得了非常精确的结果，但是它对局域张量的对称性要求较高。Nishino等人很早就提出了基于转移矩阵和张量乘积态的算法，但是它需要变分地计算最重要本征态，效率太低。 相对Nishino及其合作者的工作，我们做了下面的改进。首先，我们利用PESS来近似转移矩阵的最主要(dominant)的本征矢量，这里PESS是一类新的波函数假设，能够比PEPS更好地描述纠缠比较强的系统，如带阻挫的自旋系统，而且更便于简单更新。我们利用简单更新的方法来计算PESS，获得了维度更大的张量网络态。其次，在利用PESS计算期望值的时候，我们使用了最近提出来的加速技巧，将波函数的模写成嵌套张量网络(NTN)。NTN是将两层张量网络错开，投影到同一平面后得到的张量网络，NTN的维度和波函数相同。使用NTN能够降低张量网络求和的计算复杂度。最后，我们提出了一种改良的多子格CTMRG，对原胞较大的NTN进行求和。我们的多子格CTMRG适用于任意多子格的张量网络，还能够很好地并行化，因为迭代过程中同时更新所有的角(Corner)和边(Edge)张量。我们计算出来的结果可以和HOTRG的结果相吻合。我们得到波函数维度D=16时的临界温度Tc=4.5101(1)，相对于HOTRG的误差仅为0.03％，比Nishino及其合作者的结果的误差下降了的一个量级。为了进一步优化，还可以考虑张量的对称性，以提高PESS的保留维度;或者利用全局更新来计算PESS，降低切断误差。 在第五章，我们提出了一种新的计算能隙的方法。张量重正化群方法因为满足面积定律，已经被广泛地用于量子多体系统基态和有限温的热力学态的研究。为了更好地理解相互作用多体系统，计算系统的低能激发态同样重要。能隙是与系统低能激发态相关的一个重要物理量，它能够保护基态不受局域微扰的影响。目前能够计算系统能隙的张量重正化群方法还不多。一类是基于哈密顿量的重正化群方法，它们能够获得哈密顿量的低维有效近似，典型的例子有DMRG和MERA，但是前者在二维上仅适用于有限系统，后者在一维上的计算复杂度就达到O(D6)，效率太低。另一类是基于激发波函数的张量网络态假设，即正切空间(Tangent-Space)方法。正切空间方法是基于Bijl-Feynman-Cohen的假设，认为激发态波函数可以通过对基态波函数作局域修饰并进行动量求和来得到。正切空间方法能够得到系统的低能色散关系，但是比较复杂，需要处理许多求和项，涉及多点关联函数的计算。 我们的方法的原理是，先计算时间演化算符e-τH的低维有效表示，然后对角化该低维有效表示，再根据△=-log(λ0/λ1)/τ计算出能隙，其中λ0,1分别代表演化算符的最大的两个本征值。为了计算时间演化算符的低维有效表示，我们先通过Trotter-Suzuki分解把它近似成一个张量乘积算符，一维时就是矩阵乘积算符(MPO);然后利用粗粒化方法——有限尺寸HOSRG，对MPO进行重正化变换。有限尺寸HOSRG的优点包括，局域的变换矩阵可以通过反复扫描来优化;系统尺寸随着粗粒化变换的次数指数增长，能够更快地接近热力学极限;HOSRG能够自然地推广到二维系统上。 为了证明算法的可行性，我们计算了一维自旋1的反铁磁海森堡模型。随着保留维度的增加，结果会收敛到真实的解。在保留维度x=120时，我们的算法优于DMRG——DMRG的保留维度提高到300才达到与我们相同的精度。我们还进一步计算了横场Ising模型。对于不同相互作用λ，我们都能够成功地计算出能隙。但是当x一定时，能隙越小，精度越差，原因是能隙越小，系统的纠缠也会越强，需要的x也越大。接下来，我们分别讨论了保留维度x，虚时间隔τ和扫描步数p对计算的影响。保留维度x越大，计算精度越高，但是变分越困难。虚时间隔τ会导致Trotter误差ε，结果表明ε～τ2，和理论相符合。有限尺寸HOSRG可以通过扫描来不断优化。我们发现当p～10，结果就近似收敛了。在进一步的研究中，我们将计算更加复杂的一维模型，以及二维量子模型。