多场耦合矩形截面梁的精化理论和分解定理

• 作 者: 高阳
• 机 构: 北京大学
• 出 处: 北京大学
• 发表日期: 2004年期
• 关键词: 弯曲梁 拉伸梁 矩形截面 多场耦合 弹性力学 压电材料

梁作为最常见的和最主要的工程构件，已经被广泛地研究了有很长的时间。18世纪初Bernoulli-Euler就建立了梁的经典理论，200多年后Timoshenko建立了梁的剪切理论。对于耦合场中的梁理论，经常讨论的有：热弹性梁理论、磁弹性梁理论、压电梁理论。本文主要讨论的是多场耦合梁的精化理论和分解定理，并证明这两种梁理论的等价性。
首先，分别对弹性弯曲和拉伸直梁理论进行了研究。不作预先假设，从弹性理论出发，利用Papkovich-Neuber通解和Lure算子方法，构造了弹性梁的精化理论。在自由表面的情况下，得出了弹性梁的两个精确方程和相应解；在表面反对称或对称载荷作用下，导出了弹性梁的近似控制微分方程和相应解。根据弹性梁的分解定理，表明表面不受外力的梁内的应力状态可以分解为两部分。通过引入并证明了两个引理，简明直接地给出了分解定理的一个严格数学证明。最后分别证明了弹性梁中精化理论的两个方程分别与分解定理的两个应力状态等价，从而证明了精化理论和分解定理的等价性。
然后，将关于弹性弯曲梁的工作分别推广到定常温度热弹性梁、磁弹性梁和横观各向同性压电梁。利用耦合场的通解和Lur’e算子方法，构造了耦合场中梁的精化理论。在自由表面的情况下，得出了热弹性梁和磁弹性梁的三个精确方程和相应解；在表面反对称载荷和耦合场作用下，导出了耦合场中梁的近似控制微分方程和相应解，并与一些著名的耦合场中的梁理论模型进行了比较。如果略去耦合项，这些方程和解可以退化成弹性梁理论的相应结果。根据热弹性梁和磁弹性梁的分解定理，表明表面不受外力的梁内的应力状态可以分解为三部分。通过引入并证明了三个引理，简明直接地给出了分解定理的一个严格数学证明。最后分别证明了热弹性梁和磁弹性梁中精化理论的三个方程分别与分解定理的三个应力状态等价，从而证明了精化理论和分解定理的等价性。
最后，将关于弹性直梁的工作推广到弹性曲梁，得到了曲梁的精化理论。利用极坐标的P-N通解和Lure算子方法，构造了曲梁的精化理论。在表面载荷作用下，导出了曲梁的近似控制微分方程。对于两端受力偶的纯弯曲的曲梁，得出的应力表达式与弹性力学给出的结果完全一样。