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在自然科学和社会科学领域，偏微分方程模型常用来模拟研究事物的变化发展规律。当人们用偏微分方程模型进行模拟仿真时，必须事先确定方程中的参数系数，因而需要求解一类反问题—参数识别问题。 本文的第二章研究了一类椭圆型偏微分方程的参数确定问题。由于反问题通常是不适定的，我们利用带有正则项的输出最小二乘法，得到了带约束的正则化模型。我们用有限元方法离散化该模型，得到了一个二次约束二次规划问题。对该问题进行半正定松弛，我们最终得到一个半正定规划问题。在一维和二维例子上的数值实验验证了新方法的有效性。 本文的第三章根据已知的期权价格识别Dupire方程中的波动率函数。这也是一个典型的反问题，可以转化成一个带偏微分方程约束条件的无限维最小化问题，在细离散化水平上求解这个离散问题是非常困难的。针对这个难题，我们提出了一种多重网格方法，充分利用了问题在不同的离散水平上具有多级结构的特点。数值结果也验证了新方法的有效性。 压缩感知是近些年出现的一种新的信息获取指导理论，该理论指出，对可压缩的信号可通过远低于Nyquist标准的方式进行数据采样，仍能够精确地恢复出原始信号。矩阵填充问题是压缩感知在二维的一个自然推广。 本文的第四章研究了矩阵填充问题在生命周期评估和投入产出分析中的应用。生命周期评估是一种重要的环境管理工具，用于评估与某一产品（或服务）相关的环境因素及其潜在影响。投入产出分析是研究经济体系中各个部分之间投入与产出的相互依存关系的数量分析方法。这两种方法都是数据敏感型方法，其可靠性和适用性取决于数据质量，但往往由于技术或成本的原因，不是所有的数据都是可以获得的。然而，在生命周期评估中，生产类似商品的过程有类似的输入结构，而在投入产出分析中编表年的各个部门与目标年的各个部门也具有相似的输入结构。这些特点意味着两种方法所处理的数据通常具有低秩或近似低秩的结构，从而使我们能够运用低秩矩阵填充的新兴技术来恢复缺失的数据。如果忽略次要的副产品的问题，由于生命周期评估和投入产出分析的数据是非负的，我们提出了两个非负矩阵填充的模型来恢复丢失的信息，然后运用交替方向法来求解。把我们的方法应用于生命周期评估广泛使用的Ecoinvent数据库，数值实验的结果显示了良好的适用性和效率。恢复丢失数据的结果表明新方法是有效的。