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本文主要研究一类具有周期边界条件的非线性Schr(o)dinger方程的高效、精确、稳定的辛和多辛Fourier拟谱方法最优误差估计。
辛算法是保结构算法的一种，辛有保持体系结构的特点，在空间结构、对称性和守恒性方面优于传统算法，特别是在稳定性和长期跟踪能力上具有独特的优越性。
辛算法分为单辛算法和多辛算法。单辛算法是对只有一个辛结构的Hamilton系统而言的，多辛算法是能保持Hamilton系统的多个辛结构的数值方法。
Fourier拟谱算法可以借助快速Fourier变换(FFT)降低计算量：而辛和多辛Fourier拟谱算法兼顾辛算法和Fourier拟谱算法的双重优点，是一种高效、精确、稳定的算法。
本文考虑用辛和多辛Fourier拟谱方法来处理一类非线性Schr(o)dinger方程的周期初边值问题。给出了辛Fourier拟谱格式，其中全离散格式时间方向采用Euler隐式中点格式；从微分矩阵的角度讨论了辛和多辛Fourier拟谱格式之间的关系；利用插值逼近理论以及广义稳定性引理，分析了辛和多辛Fourier拟谱格式的稳定性，并在解满足一定光滑性条件下证明了格式的收敛性质，得到了最优收敛阶；实际计算时，采用迭代格式；利用快速Fourier变换处理非线性项，减少了计算量，数值结果表明了算法的有效性。
本文第一章对辛和多辛算法的背景知识作了简单介绍，对辛和多辛Fourier拟谱算法的历史及其发展进行了回顾。
第二章给出了误差估计中逼近和插值的一些理论，引入了投影算子，给出了其收敛性质。
第三章研究了一类非线性Schr(o)dinger方程辛Fourier拟谱半离散和全离散格式，证明了格式的稳定性，并在解满足一定光滑性条件下证明了格式的收敛性质。
第四章证明了一类非线性Schr(o)dinger方程多辛Fourier拟谱半离散和全离散格式的稳定性，并在解满足一定光滑性条件下证明了格式的收敛性质。讨论了辛和多辛Fourier拟谱格式之间的关系。第五章给出了数值算例，数值结果表明了算法的有效性。
第六章对本文的研究作了简单总结，列出了一些尚待去研究、具有重要理论和实际意义的问题。
本文提供的方法也可应用于其他一些线性和非线性周期初边值问题。