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跨音速激波和跨音速流是流体动力学中的基本现象,由于其重要的物理背景和应用背景,以及在数学上对现有偏微分方程理论的巨大挑战,致使该课题的研究始终受到国内外众多数学家,应用数学家,力学家和航天航空领域工程师的高度重视和关注。本博士学位论文将致力于研究管道中的可压缩流体跨音速激波的形成机制和稳定性机制。与此相关的物理描述为:当超音速气流穿过一个喷管时,如果喷管后端的压力适当大,则在管道内可形成跨音速激波,而且该跨音速激波将由终端压力唯一确定。该问题在Courant和Friedrichs经典名著《Supersonic flow and shock wave》中被多次专门评述并将其列为未解决的猜测,如可参见该书中的Section143(Facts and conjecturesconcerning boundary conditions)和Chapter V(Flow in nozzles and jets)部分。
近年来,对于管道流问题的研究,辛周平和尹会成两位教授在喷管后端的适当压力条件下做出了许多深入的工作,另外陈贵强教授,陈恕行教授等对二维平行的周期管道情况也做了一系列有意义的工作,可见参考文献Liu Taiping,Prof.Goodman,Prof.Majda,Prof.Keyfitz,Prof.Kuzmin等对拟一维定常流也取得了系统的重要工作。在上述工作的基础上,特别是在辛周平和尹会成两位教授的工作基础上,我们对这类问题将建立如下有重要物理意义的的结果: 当超音速气流穿过一个二维或者三维径向对称的喷管时,若后端变化的压力在合适的范围内,则在喷管中所形成的完全自由的跨音速激波存在唯一。
本文我们将假定流体是理想的和定常的,即可以用无粘性的定常欧拉方程组来描述流体的运动。在超音速区域,欧拉方程组是拟线性双曲的,而在亚音速区域,它是一个椭圆双曲耦合的,同时跨音速激波曲面将是一个位置完全未知的自由边界。在前面所提及的文章中一般都事先假定激波经过一个定点(除文献[89]),该定点条件在他们结果的证明过程中起到了本质性的作用。但当管道后端的压力为非常数情形时,完全自由跨音速激波解的存在性以前还没有任何结果。本文我们将解决该重要问题。受物理现象的启发,我们的主要想法是:基于极为精细的先验估计技巧和细致的观察,力图证明激波与后端压力的单调性关系,即在进口的超音速来流确定的情形下,对增大或者减少的后端压力,激波的位置则相应地远离或者靠近。由此,我们可克服激波位置完全未知所带来的巨大困难。本篇论文组织如下:
第一章简单地回顾管道中跨音速激波问题的物理背景,并介绍与本论文有关的一些最新研究进展,同时对我们取得的主要成果的意义进行说明。
第二章证明二维喷管中等熵气体流的跨音速激波解的存在性和唯一性。通过使用Bernoulli律分解的技巧,我们对两个可能的解的差的导数进行精细的先验估计,并根据激波所满足的方程以及超音速区域气体方程的特点,我们得到了压力P关于激波位置的单调性质。由此可以证明当喷管后端的压力给定时激波的位置将被唯一确定。另外,我们通过对欧拉方程组的有效代数运算,并结合上述所取得的唯一性结论,又得到了压力P关于激波位置的连续依赖性,从而可证明二维跨音速激波解的存在性。
第三章处理三维喷管中等熵气体流跨音速激波解的唯一性问题。基于第二章的想法,我们仍然对两个可能的解的差进行导数估计,但是三维的特点决定了仅靠Bernoulli律分解技巧并不能给我们解决问题带来所有的方便。象文献一样,通过仔细地观察,我们得到了角向速度U2和U3所满足的希尔伯特指标为-2的一阶椭圆组,然后再结合欧拉方程组本身证明出了U1和U3关于x2,x3方向与x1方向的一致正则性(主要目的是:使我们的先验估计能够自我封闭),从而推导出了激波位置关于后端压力的单调性,并完成了解的唯一性证明。
第四章解决了三维喷管中角向对称跨音速激波解的存在性。在这部分,我们采用球坐标变换,把跨音速激波解问题化成了能够反映三维特点的关于压力P和角向速度w的一阶椭圆组,并找出了这个一阶椭圆组可解的积分条件。基于此化简,并结合精细的先验估计和细致的观察,我们可同样推导出激波位置关于后端压力的单调性。此外,我们还清晰地分析了由于球坐标变换所产生的奇性影响以及具奇性系数的一阶椭圆组和二阶椭圆型方程解存在的充分条件和相应的正则性估计。