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量子计算超越经典计算机的强大潜力使其成为了现代信息科学中的研究热点。量子计算有两个突出的优点，首先是它能够实现量子并行计算，加快了计算速度，提高了信息存储能力；其次，量子计算能够模拟量子通信系统，这是经典计算机无法胜任的。无论并行计算还是模拟量子通信系统，本质上都是利用了量子相干性。然而，在实际环境中，量子计算机的量子比特并不是孤立的，外部环境的作用会破坏量子相干性，导致量子消相干。量子纠错编码是对抗量子消相干效应的重要手段，是保证量子计算和量子通信有效运行的关键技术。和经典纠错编码理论不同的是，量子纠错编码需要保证任意维度量子系统的可靠性。由于有限域的阶必然是素幂次，因此基于有限域的量子纠错码是有局限性的。有限环是对量子系统最自然的一种刻画，基于有限环的量子纠错码适用于任意维度的量子系统。本论文就基于有限环的量子纠错理论展开了一系列的研究，并取得了如下的研究成果。
(1)定义了基于模m剩余类环Zm的量子纠错码，并建立了其与Zm上的加码之间的一一对应关系。随后将Zm上的加码与扩展环上的加码相关联，简化了Zm上量子纠错码的构造。定义了扩展环上的伴随运算。当m为素数时，伴随运算等价于Hermitian运算。通过选择特定的扩展环，伴随对偶包含码适用于构造Zm上的量子纠错码，进一步优化了构造量子纠错码的过程。
(2)研究了Zm上量子纠错码的重量枚举子，并证明了MacWilliams恒等式。给出了基于Zm的量子Hamming界、量子Singleton界和量子Gilbert-Varshamov界。针对非退化稳定子码，通过分析Zm中的理想，提出了加强的量子Gilbert-Varshamov界，并给出了该界的渐近形式。加强的量子Gilbert-Varshamov界的渐近形式证明了基于任意维度量子系统的量子渐近好码的存在性。
(3)讨论了扩展环上伴随对偶包含循环码的结构。通过选择特定的扩展环，伴随对偶码的生成多项式和定义集有良好的代数性质。随后，基于循环码的生成多项式和定义集，给出了几个简单的条件用以判断循环码是否为伴随对偶包含码，继而简化了基于Zm的量子循环码的构造。当量子系统的维度是素幂次时，比较了基于有限域的和基于有限环的量子循环码构造方法，证明了基于有限环的构造方法可以获得基于有限域的构造方法所不能构造的量子循环码，进一步说明了环上量子纠错编码的实用性和重要性。
(4)给出了若干基于域Fq的、码长为q4?1/2、q4?1/Q?1、q4?1/Q+1、2(q2?1)和q4?1/3的量子BCH码的构造方法。同已有构造方法相比较，在码长和维度确定的情况下，新的构造方法可以获得更大的最小距离。此外，这些构造方法也能够构造若干新参数的量子BCH码。对形式为4r+1或4r+3的素数p，当r为奇数时，构造了基于Z4的、码长为p量子二次剩余码。最后，分别讨论了基于Zm的量子BCH码和量子RS码，给出了相应的最大设计距离的界，并列出了一些Zm上的量子BCH码和量子RS码。
(1)定义了基于模m剩余类环Zm的量子纠错码，并建立了其与Zm上的加码之间的一一对应关系。随后将Zm上的加码与扩展环上的加码相关联，简化了Zm上量子纠错码的构造。定义了扩展环上的伴随运算。当m为素数时，伴随运算等价于Hermitian运算。通过选择特定的扩展环，伴随对偶包含码适用于构造Zm上的量子纠错码，进一步优化了构造量子纠错码的过程。
(2)研究了Zm上量子纠错码的重量枚举子，并证明了MacWilliams恒等式。给出了基于Zm的量子Hamming界、量子Singleton界和量子Gilbert-Varshamov界。针对非退化稳定子码，通过分析Zm中的理想，提出了加强的量子Gilbert-Varshamov界，并给出了该界的渐近形式。加强的量子Gilbert-Varshamov界的渐近形式证明了基于任意维度量子系统的量子渐近好码的存在性。
(3)讨论了扩展环上伴随对偶包含循环码的结构。通过选择特定的扩展环，伴随对偶码的生成多项式和定义集有良好的代数性质。随后，基于循环码的生成多项式和定义集，给出了几个简单的条件用以判断循环码是否为伴随对偶包含码，继而简化了基于Zm的量子循环码的构造。当量子系统的维度是素幂次时，比较了基于有限域的和基于有限环的量子循环码构造方法，证明了基于有限环的构造方法可以获得基于有限域的构造方法所不能构造的量子循环码，进一步说明了环上量子纠错编码的实用性和重要性。
(4)给出了若干基于域Fq的、码长为q4?1/2、q4?1/Q?1、q4?1/Q+1、2(q2?1)和q4?1/3的量子BCH码的构造方法。同已有构造方法相比较，在码长和维度确定的情况下，新的构造方法可以获得更大的最小距离。此外，这些构造方法也能够构造若干新参数的量子BCH码。对形式为4r+1或4r+3的素数p，当r为奇数时，构造了基于Z4的、码长为p量子二次剩余码。最后，分别讨论了基于Zm的量子BCH码和量子RS码，给出了相应的最大设计距离的界，并列出了一些Zm上的量子BCH码和量子RS码。