论文部分内容阅读
在地下水溶质运移的问题数值模拟研究中，对于对流不占优的对流一弥散方程问题，用一般的差分格式就可以解，而且计算结果和精确解很逼近，但用一般的有限差分法求解对流占优的对流一弥散方程问题，通常会产生数值弥散，尽管许多作者从不同角度研究了对流一弥散方程的数值解法，但对各种方法进行系统的研究和对比分析还不够，尤其是针对地下水溶质运移这类特殊问题，有必要在对现有方法进行系统研究的基础上，探讨更实用的数值方法。本文采用Fourier积分方法，对几种常用的求解对流弥散方程的差分格式的稳定性、收敛性进行了证明，给出了每一种差分格式的稳定性条件、截断误差和迭代时的收敛性条件及其推导过程，从理论上分析它们各自的优缺点，并以一个理想的问题为例，用各种差分格式进行了数值求解，比较了各种格式的优越性；直接从FiCk扩散定律和质量守恒原理出发，推导了基于三角形网格剖分的上游加权有限差分方法，并进行了数值模拟试验。主要取得以下成果和认识：
(1)总结证明了几种常用的差分格式的截断误差、稳定性条件等，并将其整理后列于表l和表2，便于读者查找相应的差分格式的截断误差、收敛性条件、稳定性条件，对各种差分格式一目了然，当遇到一个实际问题，读者可以很容易的选择相应的差分格式。
(2)通过理论分析和数值试验，对目前常用的求解对流弥散方程问题的中心显式差分格式，修正中心显示格式，指数型格式，迎风格式，逆风差分格式，Crank-Nicholson隐式格式，全隐式差分格式，上游加权法，动坐标系方法，对流—扩散方程的一种新型差分格式，引入人工扩散量方法等进行了对比，这些方法各有优点，也都有缺点。中心显式差分格式是显式的，有时候虽然可以满足稳定性条件，但当网格剖分不适当时，结果的精确性确不同，若步长处理不好，结果还是不精确；逆风差分格式，同样是显式格式，和中心显式差分格式不同之处在于对流项的差分格式不同，即采用向前差分格式，它的缺点和中心显式差分格式一样；全隐式差分格式是所有的项都取隐式，计算时产生的代数矩阵，有时不满足迭代的收敛性条件，这样给问题的计算带来很大的麻烦，同时它们在解对流占优的方程时会产生数值弥散，使结果和精确解的误差很大。Crank--Nicholson隐式格式，这种差分格式是将每一项都用上一次和本次的中心差分的平均值来代替，所以结果会更逼近精确解，但是要求的条件更高；上游加权法，根据物理背景，对差分格式的对流项给一个权重，这样同样可以避免由于强对流引起的数值弥散，但权值不好确定；动坐标系方法，同样可以避免强对流引起的数值弥散，但这种方法很难推广到三维的情况；对流—扩散方程的一种新型差分格式，在一般的差分方程两端加了两项罚函数，这样同样可以避免数值弥散，但对收敛性条件比较高：引入人工扩散量方法，和对流—扩散方程的一种新型差分格式的思想一样，在原来的基础上加一个人工扩散项，减小数值弥散，但人工扩散项的系数不好确定。
(3)针对以前的有限差分法是基于地下水溶质运移对流．弥散方程，用差商代替微商(导数)，将对流．弥散(扩散)微分方程的求解转化为代数方程的求解。这类方法都是以矩形网格为基础的，然而无论是等格距还是变格距矩形网格，这种剖分总是有相当的局限性。常见的实际问题大多是：含水层渗流区边界形状不规则，非均质参数分区的界限不规则，观测孔的布置也是任意的。这些问题若用矩形网格剖分很不方便，剖分的疏密也很难控制，实际问题中，由于研究区域的形状、参数的分区以及非均质界线比较复杂，为了在网格剖分时尽量照顾边界、参数分区界线等地质现象，希望采用三角形网格，同时使用有限差分法，这样的方法既具有三角形单元有限元法网格剖分灵活的优点，又具有有限差分法简单易理解的特点。为此，本文探讨了直接从水动力弥散基本定律-Fick扩散定律、地下水流动的对流作用和质量守恒原理出发，建立基于三角形网格剖分的求解地下水溶质运移对流．弥散问题有限差分格式，并分析证明了该差分格式的稳定性和收敛性。这种差分格式的特点之一是：划分网格比较灵活，处理非均质、不规则边界条件也很方便。它的另一个优点是能够直接根据达两定律和质量守恒原理(地下水科学中的理论)建立差分方程，物理意义比有限单元法更明确。由于时间关系，本文对于一个实际问题到底选取哪一种差分格式只给出了一个感性分析，没有具体地用数学表达式精确地给出，即给出每一种差分格式适合解什么样的方程，既不会出现数值弥散，又误差比较小，计算也比较简单，以后将继续努力完成进一步的工作。