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支持向量机是基于统计学习理论的一种学习机制，是用于解决从样本进行学习的一种基于核的新技术。基于不同核的支持向量机可解决不同的实际问题，再生核及其相应的再生核Hilbert空间在函数逼近和正则化理论中扮演了重要的角色，因而在再生核Hilbert空间中构造能反映一类逼近函数特性的核函数具有很重要的现实意义。本文一方面利用再生核Hilbert空间中的再生核给出一个新的核函数，来实现最小二乘支持向量机的信号回归。另一方面，利用Littlewood-Paley小波，考虑Laplace方程的初值问题的解的逼近。本文主要结果如下：
第一，基于支持向量机核函数的条件和Sobolev Hilbert空间H1(R;a,b)的再生核，给出一种由Sobolev Hilbert空间H1(R;a,b)的再生核生成的支持向量机核函数，并在理论上证明了该核函数满足支持向量机核函数的条件。同时，将其核函数与最小二乘支持向量机结合，提出了一种称为最小二乘再生核支持向量机的新的回归模型。并将该回归模型应用于信号回归的仿真实验中，实验表明，最小二乘支持向量机的核函数采用再生核是可行的，它优于常用的高斯核函数。
第二，借助Littlewood-Paley小波，讨论了Laplace方程的初值问题的解的逼近。本文利用小波分析中的多分辨率分析方法，借助Littlewood-Palev小波在频域上的高频衰变性，把Laplace方程在边界条件下的解投影到紧支撑函数空间进行正则化，给出了Laplace方程初值问题的正则解，并证明了正则解一致收敛于准确解。这为进一步讨论不适定方程的正则解提供了新的方法。