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本论文以一种新的符号动力学的途径去研究分形上的随机行走和Brownian运动。从Koch分形的自动机出发,一方面,以自动机符号序列描述Koch曲线的几何性质,构成随机行走的状态空间,用决定论的Rademacher序列构造出Koch曲线精确的算术解析表达。另一方面,作为自动机的算术特征,占位数是一个整数配分,构成一维晶格,再用非决定论的Rademacher表象构造出随机行走及其Brownian运动。当状态间引入化学距离后,我们讨论了化学距离与Hausdorff测度之间的关系,获得Koch曲线随机行走的解析性模型结果,从而可平行地构造在Hausdorfr测度上的Wiener过程。
本文获得的主要结果有:
1.获得Koch曲线的基于Rademacher表象下任意n阶的级数解析表达式:Zn=n∑k=1λkk-1∏m=1R(γ2m-1,γ2m)S(γ2k-1,γ2k)+λnn∏m=1R(γ2m-1,γ2m)t,其中Zn为第n阶Koch曲线,R(γ2m-1,γ2m)和S(γ2k-1,γ2k)分别为Rademacher表象下的旋转算子和平移算子,λ为压缩算子。
2.给出了Echo等价类的符号描述:αnodd={dbadadad当nodd=1,badadad当nodd＞1,其中α为化学距离ι的系数,符号{a,b,d)为Koch曲线上点的符号,nodd为奇数。
3.给出化学距离ι的系数α的精确表达公式:αr=α(γ1,γ2，γm)=n(γ1,γ2，γm)△x1-dK/[x(γ1,γ2，γm)2+y(γ1,γ2，γm)2]dK/2,其中α(γ1,γ2，γm)为Rademacher表象下化学距离ι的系数,n(γ1,γ2，γm)为Rademacher表象下Koch曲线上任一点到原点的线段数,△x为Koch曲线上两点之间的欧氏距离,x(γ1,γ2，γm)和y(γ1,γ2，γm)分别为Rademacher表象下的X轴坐标和Y轴坐标。
4.给出肌肉性G-密度的精确表达式:Gαr(η)=1/2√Dkπexp(-αr/4Dkηdw),η(γ1,γ2,γ3,)-1/dw,其中Dk为扩散系数,η为Rademacher表象下相似变量,dw为行走维数。
5.给出在Koch曲线上的Brownian运动的Rademacher表象结果:Wk(γ1,γ2,γ3,)=(γ1,γ2,γ3,)/√2πψ0+∑n≥0k=2N-1∑k=2N-1√2/πsink(γ1,γ2,γ3,)/kψk,其中,ψ为Gauss分布。