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自从Gromov在80年代引入Gromov-Hausdorff距离来研究黎曼流形的收敛和塌缩理论之后，Cheeger，Colding等得到了一系列重要的有关Ricci曲率有下界的流形在Gromov-Hausdorff拓扑意义下的紧性结果。在1997年Colding证明了体积连续性定理，为从较弱的Gromov-Hausdorff收敛得到更强的紧性结果提供了有力工具。这一结果有着多方面的应用.体积连续性定理的证明中用到重要的一点就是L2意义下的Toponogov比较定理。Cheeger和Colding进一步对极限流形的拓扑结构做了刻画，得出了从体积连续导出Gromov-Hausdorff距离很接近的结果.在这一结果证明中，不同于对欧氏空间的比较，Cheeger和Colding发展了一种warped积空间及warped积比较定理。
Cheeger和Colding的上述两个结果是丰富而艰深的。本文首先整理了上述两个定理的证明，而后讨论了这两个定理在Cheeger-GromovCα收敛与C1,α收敛方面的一些应用并给出了详细证明.在体积连续性定理的条件下，可以由Gromov-Hausdorff收敛得出Cα意义下的收敛。如果再加上Ricci曲率上界条件的限制，利用Anderson的结果可以得出C1,α意义下的收敛。