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1966年V.I.Arnold[1]发表了一个著名结果:黎曼流形M中不可压理想流体的运动实际上是其构形空间无穷维保体积微分同胚群Dμ(M)上的一条测地线。这个重要且有趣的结论给出了理想流体运动的几何描述，从而允许我们用黎曼几何的方法来研究流体动力学。 在这篇博士论文中，利用微分同胚群的几何理论来研究对应测地线方程的不稳定性。首先，研究了无穷维保体积微分同胚群的黎曼几何并给出了三维紧流形上不可压理想流体运动的欧拉不稳定性与拉格朗日不稳定性之间的联系，从而证明了对于满足给定条件的非Beltrami场不存在欧拉稳定流是拉格朗日指数不稳定的。紧接着，给出了一个带有零截面曲率向量场的保体积微分同胚群并且显式的计算了对应Jacobi方程的解从而显式的给出了零截面曲率向量场对应的拉格朗日不稳定性的例子。然后，研究了Bott-Virasoro群D(S1)=D(S1)⊕R的几何理论。证明了KdV方程的一个定常解如果是欧拉稳定的那么该定常解对应的运动可以至多拉格朗日指数增长。最后，利用辛流形M的保辛微分同胚群Dw（M）的几何理论在去掉M的度量与辛结构相容的前提下讨论了辛流形M上对应欧拉方程解的整体存在性。