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如今，分数阶微分方程越来越多地被用来描述光学和热学系统，流变学和材料以及力学系统，信号处理和系统辨识，控制和机器人及其他应用领域中的问题．本文在数值计算分数阶微分方程的预估校正法基础之上，研究分数阶混沌系统的动力学行为，运用数值跟踪原理，数值跟踪分数阶混沌系统有混沌吸引子的最小有效维数，并且求出了几类典型的分数阶微分方程的解析解．
该论文共分四章，第一章简要地回顾分数阶微积分的历史和几种分数阶导数和积分的定义。
第二章对分数阶导数和积分性质进行详细比较，讨论一类在经典意义下处处连续处处不可微的函数在Riemann-Liouville分数阶导数意义下的可微性．
第三章在数值计算分数阶微分方程的预估校正法基础之上，数值模拟分数阶系统的动力学行为，采用数值跟踪原理来寻求分数阶Lorenz系统、Chen系统、R(o)ssler系统、Chua电路有混沌吸引子的最小有效维数．值得一提的是，我们得到了这些系统具有混沌吸引子的有效维数均小于3．同时构造出了基于Hermite插值的预估校正法．此章内容是本文的核心内容之一．
第四章，本章首先介绍了单参数Mittag-Leffler函数和双参数Mittag-Leffler函数及其有关性质，先后介绍了分数阶导数的Laplace变换和Fourier变换．我们利用Mittag-Leffler函数，Laplace变换和Fourier变换，求解了几类典型的分数阶微分方程，其中包括六类分数阶常微分方程的求解和两类分数阶偏微分方程的求解.