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本文利用变分方法，结合临界点理论和Morse理论，研究了一类二阶渐近线性差分方程组非平凡周期解的存在性和多重性.首先，将差分方程组的解等价于泛函的临界点.其次，通过计算相应泛函在零点及无穷远点的临界群，结合Morse不等式，证明了当非线性项满足一定充分条件时，该差分方程组至少存在一个或两个非平凡周期解.最后，讨论当该差分方程组双共振时，非平凡周期解的存在性. 全文共分三章，结构如下: 第一章简要介绍了所研究问题的背景及本文的主要工作. 第二章主要给出了离散问题的变分结构，即差分方程组所对应的能量泛函，进而，将方程的解等价于泛函的临界点.同时给出本文所用到的临界群及Morse理论的相关知识. 第三章主要利用变分方法，结合Morse理论，通过临界群的计算研究了下列二阶渐近线性差分方程组(P){-△2u(k-1)=Fu(k，u(k)，v（k）），k∈Z[1，N]，-△2v（k-1）=Fv(k，u(k)，v（k）），k∈Z[1，N]，u(0)=u(N)，u(1)=u(N+1)，v(0)=v(N),v(1)=v(N+1),非平凡周期解的存在性和多重性.其中N≥3是给定的正整数，对任意a，b∈Z，a≤b，Z[a，b]表示离散区间{a，a+1，…，b}，Fu和Fv分别为F关于第二和第三个变量的一阶偏导数.F关于第二和第三个变量有连续的二阶偏导数.△是向前差分算子，即△u（k）=u（k+1）-u（k），△2u（k）=△（△u（k））. 作为应用，我们讨论了在零点和无穷远点同时共振时，问题(P)至少存在两个非平凡周期解.