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上世纪八十年代,M.G.Crandall和P.L.Lions[23]引入了欧氏空间非线性偏微分方程的粘性解理论,其主要优势在于这种解只需要是连续的,并且拥有非常一般的存在唯-性结果.从2003年开始,出现了一些方法,将粘性解理论推广至黎曼流形的场合.这是一个非常自然的推广,因为许多函数都来自于几何问题.例如,黎曼流形上给定一个集合,其距离函数一般说来就不是处处可微的,仅仅连续.
在第二章中,我们考虑了黎曼流形上的Cauchy-Dirichlet问题.借助于函数d2(x,y)的Hessian的重要性质,我们可以得到一系列粘性解的唯-性结论；而Perron方法使我们顺利得到解的存在性结果.
在随机控制理论中,有一类指标泛函是用BSDE的解来刻画的.例如,在效用理论中,金融学家使用BSDE的解来描述递归效用问题.彭实戈院士在[62]中系统而深入地研究了此类问题.然而,在实际问题中,作为相应的正向方程的解--投资中的财富过程,常常是受限的.例如,必须是非负的等等.在一些特殊场合中,我们甚至会要求财富过程停留在一个弯曲的空间.因此,在第三章中,我们考虑了一类与黎曼流形相关的递归最优控制问题,其相应的正向方程的解是定义在某个黎曼流形上的.我们得到了动态规划原理,并且证明了值函数是相应的流形上H-J-B方程的唯一粘性解.这一部分工作深受彭实戈院士在[62]中工作的启发.
作为本文的第三个主题,随机生存性质最早是由Aubin和Da Prato在上世纪九十年代引入(参见[4],[5]和[6]).2000年,Buckdahn,Quincampoix和Rǎscanu[19]首次研究了倒向随机微分方程的生存性质问题,给出了充分必要的判定.随着这一理论的不断研究和发展,我们发现随机生存性质在状态受限的随机控制问题,数理金融,偏微分方程等很多领域都有广泛应用.例如,众所周知,随机微分方程和倒向随机微分方程的解的比较定理是非常重要的理论.而采用传统方法,我们往往只能得到一维情形的结果,其结论还是单方面的,或者充分,或者必要.而如果我们应用随机生存性质来考虑比较定理,无论是正向方程,还是倒向方程,我们都会得到多维情形的判定,且结果足充分必要的.这一巧妙的原创性的想法,来自彭实戈院士[50].
我们考虑了如下几个生存性质方面的问题及应用:
在第二章中,我们考虑黎曼流形上的随机微分方程的生存性质,研究如何能使其解停留在流形的某个闭子集中；在第四章中,我们考虑了欧氏空间上带跳的随机微分方程的生存性质,如果我们希望解一直处于空间里的某个闭子流形上,那么相应的方程系数需要满足哪些条件.受Buckdahn,Quincampoix和Rǎscanu[19]的启发,我们在第五章中研究了带跳的倒向随机微分方程的生存性质问题,并得到了相关的等价判定.结合已有的正向带跳随机微分方程生存性质的判定(参见[51]),我们分别在第四章和第五章里研究了多维带跳正向和倒向随机微分方程解的比较定理的一系列结论.
本文共分为五章,以下是本文的结构和得到的主要结论.
第一章:介绍从第二章到第五章我们讨论的问题,背景和想法.
第二章:我们考虑如下流形上的Cauchy-Dirichlet问题
我们研究了上述方程粘性解存在唯一性问题.在本章末尾,我们还考虑了黎曼流形上的随机微分方程的生存性质,研究如何能使其解停留在流形的某个闭子集中.这部分的主要结果是下面的定理2.2.1,定理2.2.8和定理2.4.4.定理2.2.1.M是一个完备的有限维黎曼流形,Ω为其有界开集.
特别地,Cauchy-Dirichlet问题(2.1)至多存在一个粘性解.
定理2.2.8.假设方程(2.1)的粘性解比较定理成立,
定理2.4.4.若假设(H1)-(H3)成立,则下面两者等价:
(ⅰ)K关于(2.7)具有生存性质;
(ⅱ)d2k(x)满足偏微分不等式(2.9).
第三章:我们研究了一类与黎曼流形相关的递归最优控制问题,其相应的正向方程的解是定义在流形上的.具体来说,我们考虑如下控制系统:
这里,我们要使效用泛函达到最小值.定义值函数为运用彭实戈院士[62]的思想和框架,加上黎曼流形的紧性假设,我们得到值函数的连续性,证明了动态规划原理(DPP)仍然成立.
引理3.2.2.(关于x的连续性)u(t,x)有界且关于t一致地关于x一致连续.命题3.2.6.(关于t的连续性)值函数u(t,x)关于t连续.
最后,我们证明了u(t,x)是如下非线性抛物型偏微分方程(H-J-B)的唯一的粘性解:
第四章:运用[51]中带跳正向随机微分方程生存性质的判定条件,我们考虑了两方面面的问题.一是如何让欧式空间带跳的正向随机微分方程解停留在空间的一个闭子流形中；二是多维带跳随机微分方程的比较定理问题.我们得到下面几个主要结果:
定理4.2.2.若假设(A1)和(A2)成立,方程(4.2)在闭子流形K生存的充分必要条件为:
第五章:运用[19]中的方法,我们研究了带跳倒向随机微分方程的生存性质.作为应用,我们考虑了多维带跳倒向随机微分方程的比较定理问题.下面是本章的主要结果: