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由于其算术意义，自守形式的Fourier系数是有趣且重要的研究对象.很多问题都涉及到Fourier系数，包括著名的Ramanujan-Peterson猜想.同时，作为数论中的重要问题，Fourier系数的的平均分布也被很多数论学家研究过.本论文的主要目的就是研究全纯尖形式的Fourier系数在两平方和整数列上的平均分布.
更确切地，令λ(n)为正规化的权为偶数的Hecke特征尖形式.f(z)∈SL(2，Z)的Fourier系数，S为可表为两平方和的数集.在本文中，我们考虑含全纯尖形式的Fourier系数的加项在数集S上的三种和式，即
Landau在1908年给出了可表为两个自然数平方和的整数的个数估计，他通过引进三个L-函数，并将经典的素数理论的方法应用于一个具有代数支点的函数，使得问题得以解决.我们部分借鉴Landau这种处理经典问题的思想来估计含尖形式的Fourier系数的和式.借助于吕[21]，[23]，[24]的研究结果，并应用对称幂L-函数，Rankin-Selberg对称幂L-函数及它们的双扭L-函数的解析性质，我们对Sk(x)：k=1，2，…8得到了如下结果：
其中C是一个常数.
其中P3(x)是一个3次多项式.
其中P8(x)是一个8次多项式.
其中P20(x)是一个20次多项式.
借助于吕[22]的研究结果，并应用对称幂L-函数及它们的双扭L-函数的解析性质，我们对S(k)(x)，k≥1得到了如下结果；在Serre猜想成立的前提下，对k≥1均成立，其中k=1，2，3，4为非条件结果.
借助于劳和Sankaranarayanan[19]的研究结果，并应用Rankin-Selberg对称幂L-函数及它们的双扭L-函数的解析性质，我们对S(k)2(x)，k=1，2，3，4得到了如下结果：
其中Q为常数.