【摘 要】
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自相似集的Lipschitz等价问题，是几何测度论和分形几何中的重要问题。此问题肇始于著名数学家K.Falconer[7，8]，G.David和S.Semmes[3]在20世纪90年代的系列工作。在最近十年，这方
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自相似集的Lipschitz等价问题，是几何测度论和分形几何中的重要问题。此问题肇始于著名数学家K.Falconer[7，8]，G.David和S.Semmes[3]在20世纪90年代的系列工作。在最近十年，这方面的研究十分活跃，取得了很多重要进展。 本论文研究的核心问题是强分离自相似集的Lipschitz等价性（又称Falconer-Marsh问题）。在这个问题上，已经积累了许多方法和技巧，如代数不变量[8]，双Lipschitz函数的保测性[25]，可匹配条件[15]和环方法[28]. 我们的第一个工作是，引入并研究了高维Frobenius问题。经典的Frobenius问题是研究给定m个互素的正整数a1，…，am，找出不能表示成a1,…，am的非负整线性组合的最大整数，显然，这取决于半群a1N+…+amN的结构。我们把a1，…，am换成R8中的整向量X1,…，Xm（但要求它们位于某个半空间中），研究半群X1N+…+XmN的结构。首先，我们提出饱和锥的概念，证明了其存在性，并给出了高维Frobenius问题的表述;其次，我们引入了方向增长函数，在X1,…，Xm共面时，我们利用条件熵给出方向增长函数的计算公式;最后，在共面条件下，我们证明了下述“刚性”结果:X1,…，Xm可由方向增长函数唯一确定。 我们的第二个工作是把上述研究应用于自相似集Lipschitz等价的研究。对于每个自相似集，我们可以联系一个高维Frobenius问题，从而联系了一个方向增长函数。首先，我们证明方向增长函数是一个Lipschitz不变量;其次，利用前述的“刚性”结果，在共面条件下，我们解决了Falconer-Marsh问题。 我们猜测，在一般情形下，方向增长函数仍将会是一个重要的Lipschitz不变量，它的计算和刚性问题，是困难而重要的问题。 此外，本论文还研究了一类自仿分形集的拓扑结构。
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