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概率论是研究随机现象的数量规律的一门数学学科。20世纪以来,在物理学、生物学、工程技术(如自动化、无线电技术)等发展的推动下,概率论得到了快速的发展。特别是近几十年来,随着新方法、新工具的出现,更使得概率论的应用范围大大地扩展。其方法也被引入到各种社会学科和工程技术学科中,如人口统计、经济决策、地震预报和气象预报、产品检验和质量控制等。而这些实际问题的需要反过来也大大地推动了概率论的蓬勃发展。作为概率论的重要分支的极限理论,也得到了充分的发展。由最早的关于独立随机变量序列的部分和到各种相依序列、鞅序列的出现,极大地拓宽了经典极限理论的研究内容。同时也扩展了其在随机计算中的应用。 本文的研究主要是针对概率论中一个非常重要Borel-Cantelli引理而展开的,它是证明几乎处处收敛的主要工具。近年来,学者们对Borel-Cantelli引理的推广做了许多努力,也取得了一系列好的结果。这些结果主要是减弱Borel-Cantelli引理第二部分的条件,以及得到加权Borel-Cantelli引理和条件Borel-Cantelli引理。本文在已有文献的基础上,证明了两个随机变量序列的Borel-Cantelli引理和一个条件Borel-Cantelli引理,这都推广了现有的结果。同时,利用条件Kolmogorov不等式和条件Borel-Cantelli引理证明了一个条件版本的大数定律。 本文主要内容分为三个部分。第一部分为基本知识,包括与本文有关的基本概念、不等式及其相关性质。第二部分为随机变量序列的Borel-Cantelli引理,证明了任意随机变量序列的Borel-Cantelli引理,这是加权Borel-Cantelli引理的推广。第三部分的内容是随机变量序列的条件Borel-Cantelli引理,证明了一个条件Borel-Cantelli引理,并将其应用于证明条件大数定律。