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半个多世纪以来，作为非线性科学领域的一个重要分支，时空斑图动力学得到了很大的发展。非线性波的传播，非线性波形成的时空斑图，以及由于波的失稳而导致的时空混沌，湍流等复杂现象广泛存在于自然界和人类社会中。从二十世纪初对贝纳德流的研究到二十世纪中叶对图灵斑图的研究，以及其间和以后各种静态及动态波运动斑图的研究，既是非平衡统计物理(自组织理论)和非线性偏微分方程(可积系统的各种孤子、行波和静态波解)处理的重要对象，也是光学、流体、等离子体、化学反应等实际系统理论和实验研究最活跃的内容之一，例如反应扩散系统中的化学波，心脏中的电信号，卵细胞中的钙离子波等等。时空斑图动力学的研究目的就是探索存在于各种各样的复杂系统中具有普遍指导意义的斑图形成，演化及转换的基本规律。反应扩散系统是斑图动力学理论和实验研究的主要对象之一，而在反应扩散系统所形成的各种非线性介质中，振荡介质又是最常见的一种。
与线性波相比，非线性波一个最主要的特点是叠加原理的失效。这使非线性波在具有一些类似线性波性质的同时，也存在线性波绝不会具有的特殊行为，例如波的竞争就是非线性波的重要特点。竞争不仅影响波在介质中的传播，而且影响波在不同介质界面上的反射和折射行为，使得非线性波具有远比线性波复杂、有趣，且丰富得多的运动现象。
自光学和化学反应中发现了反向传播的负速度波(反螺旋波)之后，对于负波的产生和传播等行为的研究开始倍受关注。非线性负波介入到波的传播与竞争中又给非线性波的研究带来了更大的丰富性和广泛的应用可能。
本论文的目的是研究非线性振荡介质中的非线性波，主要包括负波的形成参数条件，传播，折射，自组织斑图等问题。采用的数学模型是描述时空系统在Hopf分岔点附近行为高度普适的方程--复金兹堡朗道方程以及研究非线性化学反应系统中自组织现象的布鲁塞尔模型。
在第一章中，我们简要介绍了非线性波的研究背景和主要研究方向，包括线性波与非线性波的各种传播特性，界面现象(反射、折射)，负相速度波的含义，非线性波的竞争规律，非线性振荡介质的数学模型和动力学性质，以及与非线性负波有关的各种新现象：负折射和界面波等等。
本论文新的研究成果主要分为以下三个部分：
第二章中，我们首先从一般的反应扩散系统出发，采用驱动使系统产生行波，讨论了系统的色散关系曲线在决定系统支持非线性波的类型(正波或负波)上的作用。将以往凭借实际传播的波的频率与系统本征振荡频率的大小和符号关系，以及凭借实际传播的波的频率与波数的符号关系来判断正波与负波的两种方法结合起来，仅考虑系统的色散关系，就可以判断系统受驱动能够产生的波的正负。由于色散关系是由系统本身的参数决定的，在实验或者数值计算中可以确定。因此这个正负波的判据能够把系统的参数空间划分为正波区与负波区，可以用来在实验或数值计算中有效的指导寻找负波和正波。这是本论文第一个新的有意义的成果。我们以一般振荡系统为例，讨论了可解的广义复金兹堡朗道方程(GCGLE)，解出系统的色散关系曲线，并对可能实现驱动正波与驱动负波的参数区做出解析预言。我们对这些模型进行了数值计算，发现数值结果与解析预言完全相符。特别的是，我们发现当非线性的色散关系曲线满足一定的参数条件时，系统可以同时允许正波与负波的存在，即对于同样的参数，不同的驱动频率可以产生正波和负波。我们把这个参数范围称为正负波共存区。正负波共存区的出现条件是色散关系曲线的非线性，具体的位置取决于频率对波数平方的一阶导数及二阶导数的正负关系。我们在布鲁塞尔模型中也成功地利用数值模拟的色散关系对参数空间进行了划分，并找到了正负波共存的参数区。
在研究非线性正波与负波界面现象时，我们发现非线性波的负折射存在着不对称性。非线性波的正折射与线性波的正折射和负折射类似，都能够对称的发生，也就是说波从任一种介质出发传播的折射规律都是一样的。然而，非线性波的负折射对于传播方向有特定的要求。首先，负折射一定发生在正波与负波之间，也就是折射前后波的相速度方向一定不同，同种波之间(正波到正波或负波到负波)只能发生正折射。再者，非线性波的负折射存在频率阈值，如果确定了波的传播频率，比()值频率大时只能从正波向负波产生折射，小于阈值频率时只能从负波向正波产生。并且，入射波总是具有比折射波更大的波数，即非线性负折射只能发生在从短波长区向长波长区折射的过程中。我们首先用CGLE模型研究和证实了所有以上规律。之后，我们又计算布鲁塞尔模型在指定参数下的色散关系曲线，并利用色散曲线计算出频率阈值，预言非对称负折射的传播方向。该预言为数值计算所证实。
第四章，我们利用不同介质之间的非线性波竞争及相互作用来调控系统的波与时空斑图的自组织形成。我们将正波之间，负波之间的竞争规律分别推广到支持正波的介质之间，以及支持负波的介质之间的相互作用。支持同种波的介质之间的相互作用可以分别由两个介质支持的波之间的非线性波竞争规律来解释，本征振荡频率具有优势的介质能够控制整个多介质系统，使其它系统中产生以该优势本征频率传播的行波。而当正波介质与负波介质相邻时，在某些情况下，界面产生的波在两种介质里具有相同的频率和波数，使界线变得不可识别，于是在多介质的非均匀系统中就形成了均匀的斑图动力学。这种用异质介质控制斑图动力学的方法消除了同质介质控制方法在斑图中留有控制痕迹的缺陷(即消除不同介质的边界痕迹或动力学突变)，提供了一种有效的利用不均匀性来进行均匀斑图控制的新方法。