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为了更好的研究Sobolev空间上线性算子的结构和性质,王宗尧等人提出了Sobolev圆盘代数的概念,即极点在单位圆盘-D外的所有有理函数在Sobolev空间W2,2(D)中的闭包,记作R(D).本文在王宗尧等人工作的基础上进一步对R(D)上乘法算子的相似不变性,换位子和不变子空间作了讨论.
由von Neumann-Wold定理可知,在Hardy空间中,当g是n-Blaschke乘积时,Mg酉等价与Mzn,而在Bergman空间中,以有限Blaschke乘积为符号的解析Toeplitz算子是否相似于有限个Bergman移位的直和的问题,直到2007年才有了一个肯定的回答.本文的内容之一是证明了在比Bergman空间内积定义更复杂的Sobolev圆盘代数R(D)上,Mg～Mzn的充分必要条件是g是n-Blaschke乘积.此外,本文还指出以单叶解析函数为符号的乘法算子类的完全相似不变量是这些单叶解析函数的值域相同,并对强不可约的乘法算子类的完全相似不变量进行了讨论.
众所周知,一个复可分的Hilbert空间上的有界线性算子或算子类的换位子代数对刻画算子或算子类的结构起着重要作用.虽然刘义强和王宗尧利用再生核的性质给出了R(D)上一般乘法算子换位子的表示形式,但他们刻画Mf换位子的方法涉及到方程求根问题,这使得对任意的f∈R(D),想具体表示出A(Mf)仍然是很困难的.因而我们需要对R(D)上乘法算子的换位子继续进行深入了解.本文利用已经得到的乘法算子的完全相似不变量的有关结果对f=gh时Mf的换位子进行了讨论,这里g是n-Blaschke乘积,从而推广了刘义强和王宗尧在[9]的结果.此外,本文还考虑了以复合函数,单叶解析函数和整函数等为符号的乘法算子类的换位子.并利用这些换位子代数对乘法算子的强不可约性进行了讨论.
由于R(D)中函数边界值的复杂性,刘义强和王宗尧对只在单位圆盘内部有有限个公共零点的函数组成的Mz的不变子空间的结构进行了研究.本文则考虑了公共零点在边界的情形.从刘义强和王宗尧的研究成果可知,不变子空间在单位圆盘内部的公共零点的重度对不变子空间的结构有重要影响,但当这些公共零点在边界时,情形就完全不同了.本文指出对于一类Mz的不变子空间来说,边界上公共零点的重度并不影响该子空间的结构,并对该类不变子空间的结构进行了刻画.此外,本文还考虑了乘自变量算子在其不变子空间上限制的基本性质,如谱图像,本性正常性,强不可约性等,并对乘自变量算子分别限制在两个不变子空间上酉等价或相似的充要条件进行了讨论.