【摘 要】
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3非线性方程是对自然规律的近似描述,而数学、自然科学和工程技术领域中的许多问题都可以归结为非线性积分方程问题,但是,只有极少部分的非线性问题才有解析解,绝大部分非线
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3非线性方程是对自然规律的近似描述,而数学、自然科学和工程技术领域中的许多问题都可以归结为非线性积分方程问题,但是,只有极少部分的非线性问题才有解析解,绝大部分非线性问题无法获得精确的解析解。因此求解非线性积分方程近似解显得非常重要,并具有重要的实际意义。 近几十年来,学者们提出了很多种求解非线性积分方程的数值方法,如Adomain分解法、投影法、变分迭代法、泰勒展开法、勒让德小波方法、同伦摄动法等等。 同伦摄动法是何吉欢教授于1998年首次提出的,该方法结合了传统的摄动方法及同伦技术。大多数情况下,应用该方法可以得到方程(组)快速收敛的级数解,通常级数解的少数几项就能很好的逼近真解,这种方法已经应用到很多领域。但是对同伦摄动法的研究存在不足:(1)由于算子是否为压缩算子不容易验证,因此到目前为止,还没能对其收敛性给出严格的证明。只是有人指出,可以使用压缩影像原理证明方法的收敛性。(2)对某些强非线性问题,同伦摄动法不收敛。因此本文的目的是改进同伦摄动法,使其在求解强非线性问题时依然收敛,并给出严格的收敛性证明。 本文的主要研究内容如下: (1)介绍同伦摄动法并对其做出改进,以求解第二类二维 Fredholm积分方程; (2)针对同伦摄动法求解强非线性方程不收敛的缺点,提出基于区间划分的改进算法,并在C空间中利用M判别法给出了改进算法严格的收敛性证明,同时得到了近似解的误差估计; (3)应用直接法与改进的同伦摄动法相结合求解另一种形式的非线性Volterra-Fredholm积分方程; 数值实验结果表明,同伦摄动法是求解非线性积分方程众多方法中一种快速有效简单的数值方法。
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