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中立型泛函微分方程常常用来描述当前时刻状态变化率依赖于历史时刻状态变化率的发展系统。它在无损传输线路问题、生态系统和控制系统中有诸多应用,研究这类方程的余维二分支有助于揭示系统的复杂动力学行为。本文主要应用中心流形约化方法和多尺度方法研究中立型泛函微分方程的余维二分支,包括Bogdanov–Takens分支、Hopf–零分支和双Hopf分支。 首先,将中心流形约化方法应用于中立型泛函微分方程余维二分支的研究中,针对Bogdanov–Takens分支、Hopf–零分支和双Hopf分支推导了分支点附近的规范型,并且得到了各余维二分支点附近的开折系统。应用此方法,研究了中立项给食饵–捕食者系统带来的复杂动力学行为,包括Hopf分支、稳定性开关等等,得到中立项在一定条件下会使平衡点稳定范围增大的结论;针对系统中出现的双Hopf分支,通过分析分支点附近的规范型,得到开折系统中会出现鞍点型二维环面上拟周期振动的理论结果,并对原系统模拟出了暂态的拟周期现象。 其次,研究了一类具扩展时滞反馈控制的van der Pol方程的Bogdanov–Takens分支、Hopf–叉分支和双Hopf分支。通过对特征方程根的分布分析,得到了在反馈增益和时滞两个参数平面上的分支集和系统的稳定域;通过研究Bogdanov–Takens分支点附近的普适开折,揭示出系统中会出现同宿轨分支或者出现三个周期轨共存等现象;通过研究Hopf–叉分支,得到系统在一定参数下会出现两个共存的二维环面上拟周期轨的结果;通过研究双Hopf分支的开折系统,得到系统中存在稳定的不变二维环面、三维环面和一个按照Ruelle–Takens–Newhouse模式产生的奇怪吸引子等结果。上述理论结果都在数值模拟中得到了印证。 最后,将多尺度方法推广到中立型方程的分支分析中,并且应用此方法推导出分支点附近的规范型。对中立型van der Pol方程的Hopf–叉分支和双Hopf分支推导了规范型,得到与中心流形约化方法相同的结果。对中立型极限环振子方程的Hopf分支、双Hopf分支进行了研究,得到了系统参数平面上的分支集以及余维二分支点附近完整的动力学性质,进一步分析得到扩展时滞反馈控制较传统方法有一定优势的结论。应用等变拓扑度理论研究了方程的全局Hopf分支,得到分支周期解在一定条件下随参数全局存在的结论,并且估计出了系统中共存周期轨的数量。