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不可压缩流动的数值模拟在工程实践中有着广泛的应用。作为一种介观数值方法，格子玻尔兹曼方法(lattice Boltzmann method, LBM)因其基础的物理描述和简单的计算格式，近年来得到了越来越多的关注，目前已被广泛地应用于模拟各种非平衡问题，包括各类流动与传热传质问题。但LBM也存在着一些内在缺陷，包括：(1)通常只适应于均匀网格，对于非均匀网格操作非常复杂。(2)时间步长与网格间距存在限定关系，导致采用自适应网格和分块网格时操作复杂。(3)相比于传统数值模拟方法需要额外的存储空间，除了宏观参数还需要存储分布函数。这些内在的缺陷限制了LBM的进一步普及应用。为克服这些缺陷，国内外研究者们已做了大量的研究，但受限于LBM的特性，以往研究成果一般只能部分解决以上缺陷。
另一方面，标准格子玻尔兹曼方程(lattice Boltzmann equations, LBE)通过传统Chapman-Enskog(C-E)展开能够恢复对应的二阶精度的连续性与动量方程。如果直接求解宏观方程，那LBM的三点不足可以被直接克服。但是，从实际计算中发现直接离散求解通过传统C-E展开恢复的宏观方程(MEs-CE)存在严重的数值不稳定。这表明传统C-E展开恢复的宏观方程不能解释标准LBE良好稳定性的机制。
本文首先通过Taylor展开推导了标准LBE对应的更真实的宏观方程(more actual macroscopic equations, MAMEs)。离散的MAMEs可以稳定地模拟不可压流动。相比较于C-E展开得到的宏观方程，其中保留了一些额外项。通过数值测试发现，这些额外项对稳定计算有着重要的作用，但对精度不会有显著影响。基于MAMEs，本文构建了有限差分求解器，克服了标准LBE的三点不足。
然后，针对C-E展开不能正确地恢复额外项的问题，本文分析了传统C-E展开存在的缺陷，并提出了改进的C-E展开。通过改进的C-E展开可以正确地恢复MAMEs。
基于改进的C-E展开以及Taylor展开，本文推导了一些典型的格子玻尔兹曼(lattice Boltzmann, LB)模型的宏观方程，包括2个不可压LB模型、热LB模型、3个简化的LB模型，并通过理论分析和数值测试研究了离散的宏观方程的稳定性和精度。
考虑到在实际应用中，有限体积法因其灵活的离散格式被广泛应用，本文基于用改进的C-E展开从He-Luo模型恢复的宏观方程构建了有限体积求解器，并简化了格子玻尔兹曼通量求解器(lattice Boltzmann flux solver, LBFS)。这些研究为将本文推导的宏观方程应用于模拟实际问题打下了基础。
另一方面，标准格子玻尔兹曼方程(lattice Boltzmann equations, LBE)通过传统Chapman-Enskog(C-E)展开能够恢复对应的二阶精度的连续性与动量方程。如果直接求解宏观方程，那LBM的三点不足可以被直接克服。但是，从实际计算中发现直接离散求解通过传统C-E展开恢复的宏观方程(MEs-CE)存在严重的数值不稳定。这表明传统C-E展开恢复的宏观方程不能解释标准LBE良好稳定性的机制。
本文首先通过Taylor展开推导了标准LBE对应的更真实的宏观方程(more actual macroscopic equations, MAMEs)。离散的MAMEs可以稳定地模拟不可压流动。相比较于C-E展开得到的宏观方程，其中保留了一些额外项。通过数值测试发现，这些额外项对稳定计算有着重要的作用，但对精度不会有显著影响。基于MAMEs，本文构建了有限差分求解器，克服了标准LBE的三点不足。
然后，针对C-E展开不能正确地恢复额外项的问题，本文分析了传统C-E展开存在的缺陷，并提出了改进的C-E展开。通过改进的C-E展开可以正确地恢复MAMEs。
基于改进的C-E展开以及Taylor展开，本文推导了一些典型的格子玻尔兹曼(lattice Boltzmann, LB)模型的宏观方程，包括2个不可压LB模型、热LB模型、3个简化的LB模型，并通过理论分析和数值测试研究了离散的宏观方程的稳定性和精度。
考虑到在实际应用中，有限体积法因其灵活的离散格式被广泛应用，本文基于用改进的C-E展开从He-Luo模型恢复的宏观方程构建了有限体积求解器，并简化了格子玻尔兹曼通量求解器(lattice Boltzmann flux solver, LBFS)。这些研究为将本文推导的宏观方程应用于模拟实际问题打下了基础。