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本文主要研究非线性算子半群的遍历理论.
非线性算子半群的遍历理论的研究开始于上世纪七十年代中期，随后由于被广泛应用于微分方程的数值解，正解的存在性理论，控制论，最优化等问题中而得到了很大发展.Baillon首先在Hilbert空间中给出了非扩张映射的遍历收敛定理[1].Baillon的定理随后被Bruck[2]，Hirano[5]及Reich[20]等推广到具Frechet可微范数的一致凸Banach空间中.当G是一般交换拓扑半群时，Hirano-Kido-Takahashi[6]，Oka[18]，park及Jenong[19，9]分别给出了具Frechet可微范数的一致凸Banach空间中非扩张半群及渐近非扩张半群的遍历收敛定理.李刚和马吉溥在具Frechet可微范数或Opial条件的一致凸Banach空间中证明了γ类渐近非扩张型半群的遍历定理[12].而当G是右可逆半群时，李刚在具Frechet可微范数的自反Banach空间中证明了γ类渐近非扩张型半群的遍历定理[13].然而具Opial条件或不具Frechet可微范数的自反Banach空间中γ类渐近非扩张型右可逆半群的遍历定理是否成立仍多年未知.本文主要利用乘积拓扑网等技巧，首先在具Opial条件的自反Banach空间中给出了γ类渐近非扩张型右可逆拓扑半群的遍历收敛定理：设X为具Opial条件或其共轭空间X*具有KK性质的自反Banach空间，C为X的非空有界闭凸子集，G为右可逆半群，{T(t)∶t∈G}为C上的γ类渐近非扩张型半群，u(·)是S的殆渐近等距的殆轨道，{μα，α∈B}是D上的强正则网，则w-∫u(ht)dμα(t)=p∈F(S)，关于h∈∧(G)一致成立.其次在空间X具Opial条件或其共轭空间X*具有KK性质的条件下证明了γ类渐近非扩张型右可逆拓扑半群的弱收敛定理：设C是自反Banach空间X的非空有界闭凸子集，X具Opial条件或X*具有KK性质，{T(t)∶t∈G}是C上的γ类渐近非扩张型半群，u(·)∈AAO(S)，D为m(G)的含常值函数且关于左、右平移不变的子空间，且设D上有一个不变平均，则下列命题等价：(1)ww(u)(∩)F(S)；(2)w-limu(t)=p∈F(S)；(3)对任意的h∈G，w-lim(u(ht)-u(t))=0.