【摘 要】
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延迟微分方程在各个学科领域中占据着至关重要的地位,尤其是在工程学、控制学和生物学方面。对其数值算法的研究具有重大意义。近年来,泛函积分微分方程(FIDEs)和中立型延迟
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延迟微分方程在各个学科领域中占据着至关重要的地位,尤其是在工程学、控制学和生物学方面。对其数值算法的研究具有重大意义。近年来,泛函积分微分方程(FIDEs)和中立型延迟微分方程(NDDEs)越来越多地受到人们的关注。而谱亏损校正(SDC)算法,作为一种最初用来求常微分方程数值解的算法,理论上有着高精度的特点。本文的主要研究内容就是将SDC算法运用于这两种方程的数值求解,并分别对算法的收敛性和稳定性进行分析。 本文的绪论部分阐述了延迟微分方程的应用背景和意义, FIDEs、NDDEs的数值算法以及SDC算法的研究现状。第二章就SDC算法的原理及其数值分析基础和数值稳定性分析所涉及到的相关理论做了简单介绍。第三章构造出了求解一种泛函积分微分方程的扩展SDC算法,并给出了算法的收敛阶,以及全局稳定和渐近稳定需满足的条件。在求初始启动值和误差函数时,本文使用的一种替换技巧使得显式Euler方法亦可解决某些刚性问题,从而降低了计算复杂度。此外,在处理该FIDEs的积分项时,我们所用的求积方法与前人有所不同,因此在全局稳定性上得到了比Pouzet-Runge-Kutta方法略弱的条件。数值实验证明了算法的有效性,并验证了前面所得的理论分析结果。第四章结合改进后的“变线性θ-方法”构造出了求解中立型延迟微分方程的SDC算法。同时,也给出了算法的收敛阶以及GS(l),GAS(l)-稳定和渐近GAS(l)-稳定的条件。最后用数值实验证明了所得的收敛性和稳定性结论,并将其与Runge-Kutta方法做了对比。第五章对全文研究内容进行了总结,同时也提出了未来可尝试的研究方向。
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