【摘 要】
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微分方程中的变分方法是将微分方程的求解问题转化为在一个恰当的Banach空间求相应泛函的临界点问题.在研究非线性椭圆方程时，其相应泛函可能既没有上界也没有下界，本文利用变
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微分方程中的变分方法是将微分方程的求解问题转化为在一个恰当的Banach空间求相应泛函的临界点问题.在研究非线性椭圆方程时，其相应泛函可能既没有上界也没有下界，本文利用变形的山路引理、变分方法和强极值原理研究超线性椭圆方程基态解及渐近椭圆方程正解的存在性. (1)对于一类超线性p-Laplace方程{-△pu+V(x)up-1=f(x，u),u＞0，u∈W1,p(RN)，u(x)＞0，当|x|→∞，其中1＜p＜N，△pu=div(|▽u|p-2▽u)是p-拉普拉斯算子，利用Ekeland变分原理，讨论了f(x，u)在超线性的条件下，方程所对应的Euler-Lagrange泛函I满足山路引理的条件，从而得到泛函的Cerami序列，进一步证明此泛函的Cerami序列有界，最后证明有界的Cerami序列有强收敛的子列，且收敛于方程的一个基态解. (2)对于一类渐近线性椭圆问题{-Δu+u=f（x,u）+h(x)，x∈RN，u∈H1(RN),u＞0,N≥3, x∈RN，其中△是Laplace算子，在假设椭圆方程不满足(AR)条件的前提下，利用变形的山路引理，得到了方程所对应泛函I的一个有界(PS)序列，并且收敛到方程的一个正解，进一步利用Ekeland变分原理，得到了有界的Cerami序列，具有强收敛的子列.最后，利用强极值原理证明该子列收敛到方程的另一个正解.
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