【摘 要】
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近几十年来，某些二维带权非线性椭圆问题一直引起人们的广泛关注.例如奇异Liouville方程，Henon方程和带权sinh-Poisson方程等.这些方程不仅具有应用背景，对数学本身也提出一些有
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近几十年来，某些二维带权非线性椭圆问题一直引起人们的广泛关注.例如奇异Liouville方程，Henon方程和带权sinh-Poisson方程等.这些方程不仅具有应用背景，对数学本身也提出一些有意义的问题.本文将用Lyapunov-Schmidt有穷维约化方法，来研究这些方程集中解的存在性。
首先，我们在第一章就问题的背景、研究方法以及本文的主要结果作简单地介绍。
在第二章，对奇异Liouville方程，我们在某些临界点的稳定性假设下构造了多重内部集中解。
在第三章，我们考虑带混合内部和边界奇异源的二维指数非线性椭圆Neumann问题，并证明了混合内部和边界集中解的存在性。
在第四章，对二维含大指数的带权非线性椭圆问题.我们在一个C0-稳定临界点的假设下，给出了多重内部集中解(或尖峰解)的存在性。
在第五章，对二维含大指数的带权非线性椭圆Neumann问题.我们证明了混合内部和边界集中解(或尖峰解)的存在性。
在最后一章，我们考虑单位圆盘上带权sinh-Poisson方程.并证明了存在一族在原点和原点外正负集中的变号泡泡解。
为了取得上述这些结果，我们需要执行整个有穷维约化程序，尤其是获取问题在适当逼近解处线性化算子L的有界可逆性.为此，在技术上有许多困难需要突破，我们主要的创新点如下：
一.利用del Pino等人给出的带单个整系数奇异源的Liouville方程解的非退化性，我们在圆盘上引入一个涉及到可分离极坐标变量的截断函数，来对带整系数奇异源的算子L做可逆性分析.这在某些相关的正交积分中起着非常重要作用，并帮助我们重新获取所需的严格对角占优线性系统。
二.我们考虑一个“间隔”区间，并引进一个适当带权L∞-范数，来克服算子L因在系数落在(-1，0)上的奇异源处出现奇异性而造成的困难。
三.对于Neumann问题，边界奇异源的出现也给我们带来一些技术性的困难.一个有效的途径正好帮助我们在半圆盘上执行约化工作，即采用del Pino和Wei的想法，在每一个边界奇异源附近将边界拉直(strengthen the boundary)。
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