论文部分内容阅读
自上世纪二十年代以来,Schrodinger方程就一直是数学物理界所关注和研究的核心论题之一,其理论及应用背景十分丰富.高阶Schrodinger方程是Schrodinger方程的自然延伸和发展,对其研究不仅会对数学本身提出更多的挑战,同时也能进一步加深对Schrodinger方程的认识.该文主要研究了高阶Schrodinger方程解的Lp估计,包括自由情形时方程解算子的Lp-Lq估计和带位势情形时解的Lp估计,其中在讨论自由高阶Schrodinger方程时,该文还进一步把主算子分为齐次和非齐次两种情形来分别进行处理.特别地,针对齐次情形,该文得到了更为完善的结果.此外,作为该文的一个相关论题,我们也得到了一类广义Kato位势的一些性质和刻画,并给出了相关的应用.在具体的研究中,该文主要采用的是调和分析的方法和技术,同时还结合了泛函分析的一些重要工具和手段,这其中包括算子插值、曲面上Fourier变换、单位分解技术、Hardy-Littewood-Sobolev分数次积分、积分半群、Straub分数幂等.特别地,在研究自由高阶Schrodinger方程时,该文还采用了一些最近才出现的振荡积分有关的技术和结果,这些技术和结果大多都是首次出现在高阶Schrodinger方程的研究中.与已有的工作相比较,该文的主要特点是处理带有高斯曲率消失特征的高阶Schrodinger方程,其所得结果不仅进一步发展和完善了高阶Schrodinger方程的Lp理论,而且在这一问题的研究中还首次突破了以往关于高斯曲率处处不消失这一基本假设的限制.