论文部分内容阅读
在自然科学的许多领域中，很多现象是用抛物方程或方程组描述的.因此，用有限差分方法数值求解抛物偏微分方程问题具有重要的理论意义和应用价值.
随着向量机与并行机的问世与发展，并行数值算法已成为研制高性能并行计算程序的关键技术之一.到目前为止，有限差分并行算法主要是考虑二阶抛物方程问题.实际上，四阶抛物方程的并行化更有必要，相对二阶抛物方程而言，四阶抛物方程的显式格式的稳定性要求更高，达到r≤1/8，其中r=△t/h4；而其隐式格式的方程组是5对角的，这给大规模求解也带来了困难.
本文主要研究四阶抛物方程的并行化问题.受已有二阶抛物方程结果的启发，我们主要采用三层交替技术来实现四阶抛物方程的有限差分并行计算，得到一个可以将区域分块并行求解的差分格式，该格式绝对稳定而且局部截断误差达到O(△t+h2).
本文的主要工作分为以下几部分.
1.四种非对称格式
在第二章第一节中，我们考虑如下一维四阶抛物方程的初边值问题
{()u/()t+()tu/()x4=0,x∈(0,π),t∈(0,T),u(x,0)=u0(x),x∈(0,π),u(0,t)=()2u(0,t)/()x2=u(π,t)=()2u(π,t)/()x2=0.(1)
计算可得，显式格式的稳定性条件为r=△t/h4≤1/8，隐式格式绝对稳定.
利用中值定理，对方程(1)离散可得四种非对称格式如下，rUn-1i+2-2rUn+1i+1+(1+r)Uin+1=2rUi+1n+(1-5r)Uin+4rUi-1n-rUi-2n.(2)rUn+1i-2-4rUn+1i-1+(1+5r)Un+1i-2rUi+1n+1=(1-r)Uin+2rUi+1n-rUi+2n.(3)rUn+1i-2-2rUn+1i-1+(1+r)Un+1i=2rUni-1+(1-5r)Uin+4rUi+1n-rUi+2n.(4)rUn+1i+2-4rUn+1i+1+(1+5r)Un+1i-2rUi-1n+1=(1-r)Uni+2rUni-1-rUni-2.(5)
对上面的四种非对称格式，我们可以得出如下的结论：
定理1非对称格式(2)(4)稳定性条件为r≤1/4；非对称格式(3)(5)是绝对稳定的.
定理2非对称格式(2)(3)(4)(5)的局部截断误差为O(△t/h2+△t+h2).
2.分组显式(GE)方法
在第二章第二节中，我们主要利用非对称格式构造四阶抛物方程的分组显式算法，所得算法进一步改善了误差阶，达到O(△t+h2).
如下构造四点组rUn+1i+1-2rUn+1i+(1+r)Un+1i-1=2rUni+(1-5r)Uni-1+4rUni-2-rUni-3.rUn+1i+2-4rUn+1i+1+(1+5r)Un+1i-2rUn+1i-1=(1-r)Uni+2rUni-1-rUni-2.rUn+1i-1-4rUn+1i+(1+5r)Un+1i+1-2rUn+1i+2=(1-r)Uni+1+2rUni+2-rUni+3.rUn+1i-2rUn+1i+1+(1+r)Un+1i+2=2rUni+1+(1-5r)Uni+2+4rUni+3-rUni-4.
可以计算得在四个点上的显式解，利用Taylor展开，可以计算得显式解的局部截断误差都为O(△t+h2).即
定理3四种非对称格式组成的四点组的截断误差为O(△t+h2).
由此可以看出，单独使用以上几种格式时，计算精度一般较差，因为截断误差中包含了△t/h2项，即使网比r固定时，这一项随h趋于零而趋于零，但是该项误差随r增大而增大，计算误差不好控制.但是把这四种非对称格式组合起来形成如下节所给出的分组显式使用会使计算精度大大改善，因而更具有实际应用价值.
已知n层的值，当求第n+1层时，沿x增加或减少方向在顺序四点上使用四点组格式(6)求解问题(1)的方法称为分组显式(GroupExplicit)方法，简记为GE方法.
现要求剖分节点是N=4m+3(m为自然数)，此时有4m+2个需要计算的内点.因此有m个4点组，剩余两点放在同一边，要么左边，要么右边.剩余两点放在右边的情况，我们称为GER方法，剩余两点放在左边的情况称为GEL方法.今以GER方法为代表进行较仔细的讨论，GEL方法的讨论类似，这里从略.
定理4当r≤1/5时，GER方法是稳定的.
3交替分组显式(AGE)方法
在第二章第三节中，我们已经看到，当单独使用GER或GEL方法(N=4m+3)时，两种方法都是条件稳定的.这里我们把这种在不同时间层交替使用GER和GEL方法，称为交替分组显式方法，简称AGE方法.我们可以给出AGE方法的数学描述如下{(I+rG1)Un+1=(I-rG2)Un,(I+rG2)Un+2=(I-rG1)Un+1、n=0,2,4,….(7)
定理5AGE方法是绝对稳定的.
AGE方法的一个特点是两个差分格式GER和GEL的交替使用，以连续交替计算为一个周期，不断重复进行，每一个计算周期内实际上可以看作是使用了一个三层差分格式，以上稳定性证明就是基于这种周期性情况做的.
4交替分段显-隐(ASE-I)方法在抛物方程或方程组的大型科学计算中，由于隐式格式一般具有好的稳定性，但由于隐式差分方程的并行求解比较困难，所以其并行化研究可以从构造差分格式入手.受到构造分组显式格式方法的启示，有人提出恰当地使用交替技术建立了多种显-隐式和纯隐式交替并行方法，得到了稳定性和并行性兼顾的研究成果.我们对于一维问题(1)提出了有限并行解法.
首先构造求解问题(1)的隐式段，对某个i0，考虑(i0+i.n+1)(i=1.2.….L)诸点上的计算.在四个“端点”(i0+1，n+1).(i0+2.n+1).(i0+L-2，n+1)和(i0+L-1，n+1)处分别用非对称格式(2).(5)，(3)和(4)，而在“内点”(i0+i.n+1)(i=1.2.….L)处使用古典隐式，即得到分段隐式.
对于问题(1)，利用段隐式，一般的ASE-I方法是这样设计的：设I-1=NL，N、L为正整数，L≥5.将同一奇数时间层要计算的点分为N段，并自左而右依次按“古典显式-分段隐式-古典显式”的规则作出安排，在下一时间层(偶数层)仍为N段，每段计算格式交替地进行，即古典显式变为古典隐式，古典隐式变为古典显式，非对称格式(2)变为非对称格式(3)，非对称格式(5)变为非对称格式(4)，非对称格式(3)变为非对称格式(2)，非对称格式(4)变为非对称格式(5).这样在偶数时间层上N段的计算规则就变为“分段隐式-古典显式-分段隐式”，使得分段显-隐在不同的时间层之间交替进行.
ASE-I矩阵描述如下：{(I+rG1)Un+1=(I-rG2)Un.(I+rG2)Un+2=(I-rG1)Un+1,n=0,2,4,….(8)其中Un=(Un1，Un2，…，Un1-1).
定理6由式(8)所描述得交替分段显-隐方法(ASE-I)是绝对稳定的.
这样，我们构造了一种用于四阶抛物方程的有限差分并行格式ASE-I.这种格式不仅绝对稳定，而且有很好的截断误差.
在上面所述抛物方程有限差分并行算法这个研究方向上，除了我们已经提到的方法之外，目前还有许多工作正在研究之中，例如多维变系数问题方法的稳定性和收敛性等，非线性问题在这方面的研究更是一个十分广阔的领域.