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本文主要证明两个结果:第一个结果是关于周期映射的有界性，这是Griffiths在上世纪70年代提出的猜想;第二个结果是关于周期映射的单射性，即所谓的整体Torelli问题，这个结果的重要性在于，Hodge结构完全决定了模空间中的点，同时也可以得到模空间的几何性质。 下面我们简单地介绍这两个结果。 令Φ:S→ D/Γ是来自几何的周期映射，即我们有一个复流形S上的解析族f:(x)→S，使得对于任意的q∈S，点Φ(q)在相差一个单值Γ作用下表示了纤维f-1(q)的n-阶本原上同调群的一个Hodge结构。令S的万有覆盖空间为(τ)，则有提升的周期映射Φ:(τ)→ D。 在[23]第10节中，Griffiths提出下面的猜想:给定解析族∫:(x)→S，周期Φ（Xs）(s∈S)有一个一致的正规化，即像(Φ)（τ）落在一个复欧氏空间的有界域中。 本文通过周期域的李理论，来刻画这样的复欧氏空间。周期域D可以表示为实李群的商D=GR/V，其紧复对偶(D)表示为复李群的商(D)=GC/B，其中V=B∩GR。D中固定点o上的Hodge结构诱导了GC的李代数g上的权为零的Hodge结构g=⊕k∈Zgk，-k。则B的李代数为b=⊕k≥0 gk，-k，全纯切空间T1，0oD同构于g/b(≈)⊕k≥1g-k,k△=n+。这样我们可以将幂零子代数n+和复欧氏空间T1，0oD等同起来，且有诱导的欧氏度量，记相应的幂幺群为N+=exp(n+)，则N+可以看做复欧氏空间，且从n+诱导了欧氏度量.由于N+∩B={Id}，则我们可以将N+(∈)GC和它的轨道N+(o)(∈)(D)等同起来，因此记号N+(∈)(D)就有意义。 有了上面的记号，我们要证明:周期映射(Φ):(τ)→D的像落在N+∩D中，且是欧氏空间N+的有界集。这就是本文的第一个主要结果。 作为本文第一个主要结果的推论，我们将证明:在模空间光滑和强局部Torelli的假设下，Teichmiiller空间(τ)存在复仿射结构。为此我们需要介绍其中的基本概念。 我们定义带水平m结构极化流形的模空间Zm，极化流形的Teichmüller空间(τ)，以及极化流形的Torelli空间(τ)，并假设这些空间都是光滑的，且其上都有解析族。从这些空间出发的周期映射为:ΦZm:Zm→ D/Γ，Φ:(τ)→D，Φ:(τ)→D。 一般地，局部Torelli要求周期映射Φ的切映射在(τ)上的每一点处都是非退化的。本文中我们将引进强局部Torelli的概念:我们称X满足强局部Torelli，如果存在Hodge丛⊕nk=1 Hom（(J)k/(J)k+1，(J)k-1/(J)k）的一个全纯子丛H，使得周期映射的切映射诱导了(τ)上丛的同构d(Φ):T1,0(τ)(→)H。 作为本文的第二个主要结果，我们将证明:在模空间Zm，m≥3光滑的假设下，且强局部Torelli对于X成立，则Torelli空间τ上的整体Torelli定理成立，即周期映射Φ:(τ)→D是单射。其证明用到了(τ)关于Hodge的完备化空间(τ)H;以及(τ)H上的仿射结构。 我们验证，下面的例子满足上面结果的条件:K3曲面;Calabi-Yau流形;hyperk(a)hler流形;p+1中度为d的光滑超曲面且满足d|(n+2)以及d≥3;Pn中m超平面的排列，其中m≥n;光滑三次曲面和三次三重形。因此它们的Torelli空间(τ)上的整体Torelli定理成立。 作为上面结果的应用，我们还证明:在模空间光滑和强局部Torelli的假设下，(τ)关于Hodge度量的完备化空间(τ)H是复欧氏空间中的伪凸域。特别地，(τ)H上有唯一完备的K(a)hler-Einstein度量使得其Ricci曲率为-1;我们还证明:强局部Torelli，以及Zm上一般Torelli可以得到Zm上的整体Torelli。