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分数阶抽象Cauchy问题是指对时间变量的导数为分数阶导数的抽象柯西问题,因其真实地描述了物理,化学,工程,生物,金融等领域中的许多现象,近年来引起了来自数学,自然科学和工程技术等学科领域的广泛关注.但相较于传统的整数阶抽象Cauchy问题,分数阶抽象Cauchy问题具有更为复杂的解结构和动力学行为,而且它们又强烈依赖于时间导数的类型和阶数.为此,本文分别针对Caputo型导数和Riemannn-Liouville型导数,以及不同的导数阶数,对分数阶抽象Cauchy问题的适定性问题进行了系统的研究. 全文由四部分组成,具体如下: (一)第一部分(对应第二章)提出Mittag-Leffer函数Eα(atα)的一个新等式,基于这一等式提出了α阶强连续分数半群的概念,证明了这一概念为阶数α∈(0,1)的Caputo分数阶抽象Cauchy问题(FACP)的解算子的一个新的特征表示,并证明了(FACP)是适定的,当且仅当其系数算子A生成α阶强连续分数半群. (二)第二部分(对应第三章)研究阶数α∈(1,2)的Caputo型分数阶抽象Cauchy问题.基于对数值情形Cauchy问题解性质的观察,我们提出了分数阶正弦族的概念,通过对分数阶正弦族性质的刻画,建立了分数阶正弦族的生成定理,给出了指数有界正弦族的一个广义指数公式.我们在Hilbert空间中研究了线性算子A与其对偶算子A*生成指数有界的阶正弦族的关系,并给出分数阶正弦族存在的一个充分条件.我们刻画了分数阶正弦族的谱与相应的无穷小生成元的谱之间的关系,以及分数阶正弦族序列的强收敛与对应的无穷小生成元之间的强收敛之间的关系.我们引进了解析分数阶正弦族的概念,并建立了其生成定理.另外,我们讨论了解析分数阶正弦族的无穷小生成元的分数幂,给出从属原理.最后,我们建立了分数阶正弦族与Caputo型分数阶抽象柯西问题(FACP0)之间的对应关系,并对非齐次分数阶抽象柯西问题(FACPf),分别给出了其温和解和强解存在唯一的条件. (三)第三部分(对应第四章)引入Riemann-Liouville分数阶预解族来研究阶数α∈(0,1)的Riemann-Liouville型分数阶抽象Cauchy问题(RLFACP01),(PLFACPf1).我们给出α(0<α<1)阶Riemann-Liouville预解族的基本定义和一些基本性质.我们给出充分条件来保证(RLFACP01)和(RLFACPf1)的温和解和强解的存在性和唯一性. (四)第四部分(对应第五章)研究阶数α∈(1,2)的Riemann-Liouville型分数阶抽象Cauchy问题(RLFACP02)和(RLFACPf2).我们引入了(α?1)(1≤α≤2)阶积分阶余弦族的概念,首先通过对其性质的研究,建立指数有界(α-1)阶积分α阶余弦族的生成定理.其次,我们引入了解析分数阶余弦族的定义,给出其生成定理,并通过对解析(α-1)阶积分α阶余弦族的无穷小生成元的分数幂,建立了从属原理.最后,我们将所获结果应用于Riemann-Liouville型抽象Cauchy问题(RLFACP02)的适定性研究,建立了基于积分α阶余弦族的解算子族算子理论.同时,我们对α阶非齐次Riemann-Liouville型抽象Cauchy问题(RLFACPf2),分别给出了其的温和解和强解存在唯一的条件.