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仿射球是仿射微分几何里最重要的研究对象之一，其中完备仿射球的分类结果是由W.Blaschke，E.Calabi，S.T.Yau，S.Y.Cheng等完成.特别S.T.Yau和S.Y.Cheng对于E.Calabi猜测即关于完备双曲型仿射球的工作是非常著名的。但是对于双曲型仿射球的几何性质我们并没有很好的了解。王长平教授提过一个问题：(a)是否所有仿射球的重心曲线为直线?(b)是否所有重心曲线为直线的凸超曲面为仿射球?
本文在加上一些合理的整体性条件下给出关于这个猜测的结果，并运用马翔老师引入的定义于凸锥上的体积函数究渐近于凸锥的三种超曲面：完备双曲型仿射球，体积函数的等值面，等体积面(每点的切超平面和锥面围成的部分体积相同)之间的关系。最后得到一般情况下体积函数的等值面和等体积面等同，并给出一个非齐性的可计算的体积函数的等值面的例子，可算得在非齐性情况下完备双曲型仿射球和最小体积函数的等值面不一定相同，因而说明了完备双曲型仿射球的重心曲线并不一定为直线。