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自2004年Novesolov和Geim等人首次使用机械剥离法成功制备出碳单层以来，二维六角晶格材料迅速成为探索凝聚态物质中新奇物理现象及其规律的热点研究对象，实验和理论方面的突破和进展层出不穷。由于这种晶体结构简单，物理性质丰富，并且在很多方面都具有潜在的应用价值，因此极大地推动了凝聚态物理学和材料科学等领域的发展。本博士论文的主要研究对象包括二维六角晶格碳和硼氮单层和双层*，其中自然状态下的碳单层或双层是由碳碳键构成的非极性晶体，而硼氮单层和双层是由硼氮键构成的极性晶体。 我们研究的主要问题是外场调控下二维六角晶格碳和硼氮单层或双层的能谱性质、量子输运及拓扑相变。研究的主要内容包括拉伸应力场调控下碳单层纳米条带的声子能谱和导热性能，纵向电场驱动下弯曲碳单层纳米条带的自旋输运性质，层间偏压调制下硼氮双层结构的拓扑量子相变，Bernal堆积的极性硼氮双层晶体中层间电场诱导的带隙和Landau能级的变化，以及Rashba自旋轨道耦合驱动下碳单层和双层逆转的Berry相位和调制的Andreev反射等。在这类二维系统中，我们发现了许多新奇的物理性质，也得到一些实验和应用上有用的重要结论，进一步丰富和推进了相关领域的研究。本文具体安排如下: 在第一章中，我们介绍典型二维六角品格材料的实空间结构、能带结构及基本的输运现象与新奇的性质;其中穿插介绍用来研究这类材料时处理不同问题的理论模型，紧束缚近似模型和Hubbard模型等;然后，我们将简单说明处理相关问题的有效方法。 在第二章中，考虑到目前纳米电子器件散热过程对纳米材料高导热性能的需要，我们在弹道输运框架内来探讨如何提高碳单层导热性质的问题。我们把弹性理论和Green函数理论结合起来，通过在导热方向上对碳单层纳米结构进行拉伸，发现低频声子模式态密度会增加，导致贡献热导比重较大的低频声子数目增多，进而使得导热性能得到有效地提高。这一重要结论并不依赖于碳单层纳米条带的边界形状，即锯齿型或是扶手椅型。 在第三章中，基于碳单层纳米条带的磁性质强烈依赖于边界形状，我们利用非平衡Green函数方法，研究电场驱动下弯曲纳米条带构成的源漏极场效应管装置中电子的自旋输运问题。在这个Hubbard模型描述的两终端装置中，源极是具有锯齿型边界的磁性电极，而漏极则是具有扶手椅型边界的普通金属电极。我们的自洽计算结果表明，由于这种装置中间结区存在磁畴从而会导致出现强的双极型自旋整流效应。通过分析源漏极之间输运模式的对称性匹配，我们进一步探讨了此装置应用于双极型自旋二极管的条件。 在第四章中，我们研究硼氮双层结构中拓扑量子相变的实现问题。我们发现，通过加一层间偏压，带隙会显著降低。进一步通过外加重原子吸附提供的内禀的以及Rashba自旋轨道耦合作用，我们发现，是否出现拓扑绝缘相强烈地依赖于层间堆积方式。对于具有空间反演对称性的AA堆积的结构，可以通过控制层间偏压实现拓扑相变的有效控制，同时我们解析地给出了相界。对于空间反演非对称性的AB堆积的结构，结果表明无论自旋轨道耦合作用有多强，偏压有多大，都不可能出现拓扑绝缘体相。我们还对硼氮双层与碳双层作了一个比较研究，发现后者显著不同于前者:具有反演对称性AB堆积的碳双层在层间偏压和Rashba自旋轨道耦合的作用下出现强拓扑相，内禀的自旋轨道耦合作用会抑制强拓扑相的出现;具有反演和镜面双重对称性的AA堆积的碳双层不可能出现强拓扑相。 在第五章中，我们研究层间偏压调控下Bernal堆积的极性硼氮双层晶体中能带结构和Landau能级的变化。通过具体分析层间偏压驱动的能带密度变化和电荷转移过程，我们发现在两个反向的层间偏压下带隙和Landau能级会发生非对称性的变化。当层间偏压为某一方向时，随着偏压增大系统会从普通绝缘体过渡到半金属相，然后又会回到普通绝缘体;但是，在反向偏压下，系统始终是半导体。在有磁场存在的条件下，两种相反方向偏压下的Landau能级也会不同。进一步考虑边界效应的影响，我们发现色散的边态存在于某一方向偏压下的体带隙中，而在反偏压方向下并不出现。 在第六章中，我们证明Rashba自旋轨道耦合可以驱动碳单层和双层发生Berry相位上的非平庸的改变，对于碳单层来说会从π变化到2π，而对于碳双层来说会从2π变化到π。这种Berry相位的逆转会导致正常导体-超导体结上发生反常的电子-空穴转换:镜面Andreev反射在碳单层中会显著降低，而在碳双层中会明显增强。另外一个反常的结果就是自旋翻转的电子反射会发生，这是由Rashba自旋轨道耦合引起的等能面上的自旋螺旋结构导致的。一个电学上可测量的结果是，亚带隙微分电导因Rashba自旋轨道耦合的驱动在碳单层上会受到明显的抑制，而在碳双层上会有显著的增强，这是由Berry相位决定的入射态与反射态干涉所造成的。我们的结果为控制其它基于碳薄膜超导异质结上的Andreev反射提供新视野和新物理。 在最后一章，我们先总结前几章介绍的有关外场调控下二维六角晶格中量子输运和拓扑相变的研究，然后展望未来有关低维凝聚态物质结构新奇物理性质的研究。