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广义Kac-Moody代数是Boreherds[5,6]在研究月光猜想(Monstrous moonshine)的时候引入的一类新的无限维李代数,其量子形式(或者叫做量子广义Kac-Moody代数)是Kang[27]引入的.在文献[21]中,Jeong,Kang和Kashiwara研究了量子广义Kac-Moody代数的表示理论,晶体基理论以及相应的整体晶体基.在[31]中,Kang和Schiffmann用几何的方法实现了典范基,并且证明了如果Borecherds—Cartan矩阵中所有的主对角线的元素不等于0的话,他们得出的典范基和Jeong,Kang以及Kashiwara得出的整体晶体基是一样的.在[46]中李和林也得到了相同的结论.与此同时,用Littelmann道路模(path model)的方法,Joseph和Lamprou[25]给了晶体基另外一种实现方式.此外,Kang,Kashi—wara和Schiffmann[29]给出了晶体基的几何实现。
本文主要研究量子广义Kac-Moody代数的结构,表示的张量积和改进的(modi-fled)量子广义Kac-Moody代数的表示以及特殊的Borcherds-Cartan矩阵的基本表示。主要工作分为以下三个部分：⑴通过研究一阶Borcherds-Cartan矩阵对应的广义量子代数Uq(2a)结构,对于一般的量子广义Kac-Moody代数Uq(g),我们在虚单根处引入新的dividedpower,给出了Uq(g)的一个整形式,即一个(Z)=Z[q,q-1]子代数U,并且刻画了U0=U0q(g)∩U的一组(Z)-基。⑵第二部分主要讨论了张量表示以及改进的量子广义Kac-Moody代数的表示.首先我们刻画了不可约高权表示V(λ)与不可约低权表示V(-μ)张量积的整体晶体基,其中λ,μ都是支配权.然后通过证明稳定性条件,我们得到了改进的量子广义Kac-Moody代数Uq(g)的整体晶体基.此外,我们还将Kashiwara引理推广到了量子广义Kac-Moody代数的情形,给出了不可约高权表示V(λ)与V(μ)的张量积的一个合成列。⑶最后我们构造了对应于一类特殊的Borcherds-Cartan矩阵的量子广义Kac-Moody代数的基本表示,也就是将Gebert和Teschner[16]的结果推广到了量子的情况下.另外,还考虑了在广义Cartan矩阵基础上加入一行一列0元素组成的Borcherds-Cartan矩阵.在这种情况下我们刻画了广义Cartan矩阵和Borcherds-Cartan矩阵对应的量子代数的不可约表示之间的关系。