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树上的随机场是随机过程理论在树一这一新的数学模型上的应用，它产生于信息理论的编码和译码问题．假设一个序列{Xn}，其中的状态和状态序偶出现的频率是否遵从大数定律，直接影响到编译码方法的优劣，故这一领域一直是众多学者研究的重点．三十几年前，诞生的“随机场”这一概率论与统计物理的交叉学科与其它概率物理分支，代表着当今数学与物理相互渗透的大潮流的一个重要侧面．最近，杨卫国及其合作者利用研究概率论极限定理的新方法，把传统马氏链中的若干强极限定理、Shannon—McMillan定理推广到了Bethe树和Cayley树上的马氏链场．本论文的工作首先给出了广义Cayley树的定义，研究了有限状态下齐次树上二重马氏链上普遍成立的强极限理论，作为推论得到了有限状态下齐次树上状态频率和状态序偶频率的一类强极限定理，并且给出有限状态齐次树上的强大数定律和Shannon—McMillan定理．同时，本论文也研究了有限状态下树上非齐次马氏链的随机转移概率的调和平均的极限性质，所得结果将非齐次马氏链的随机转移概率的调和平均的性质推广到树图上．