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本论文主要讨论了有理系统下的多项式插值问题，最近文献[3]中G.Min讨论了有理系统Pn(a1，a2，…，an)下的第一类Chebyshev多项式Tn(x)零点为插值结点的Hermite-Fejér插值和Grünwald插值，并得到了Hermite-Fejér插值算子在[-1，1]上一致收敛于f(x)和Grünwald插值算子的内闭一致收敛性。
本文继续研究以实有理系统Pn(a1，a2，…，an)下的第二类Chebyshev多项式Un(x)的全部零点{xk}n-1k=1为插值结点的拟Hermite-Fejér插值和拟Grünwald插值，从而研究其相关性质，以及研究非有理系统下以经典的第二类Chebyshev多项式零点为插值结点的Hermite-Fejér插值加权Ln下的收敛速度，全文共分四部分.
文章的第一部分详细介绍了实有理系统Pn(a1，a2，…，an)及有理系统下的第一类和第二类Chebyshev多项式的定义及性质.
文章的第二部分考虑实以有理系统Pn(a1，a2，…，an)下的第二类Chebyshev多项式Un(x)的全部零点{xk}n-1k=1为插值结点的广义的Hermite算子和拟Grünwald算子的收敛性。若取hk(x)=[1-2lkxk)x-xk)]·l2k(x),lk(x)=Un(x)/Un(xk)(x-xk)，发现n-1∑k=1|hk(x)|无界，不能得到Hermite-Fejér插值相应的收敛性质.由于|√1-x2Un(x)|≤1，因此考虑取xk(x)=√1-x2/√1-x2k·lk(x)=√1-x2/√1-x2k·Un(x)/Un(xk)(x-xk)，用xk(x)代替hk(x)中的lk(x)，通过计算发现n-1∑k=1|hk(x)|=O(1)，因此我们定义相应的Hermite插值多项式和拟Grünwald插值多项式如下：Hn-1(f，x)：=n-1∑k=1f(xk)hk(x)+∑f’(xk)σk(x)G*n-1(f,x)=f(1)·1+x/2·U2n(x)/U2n(1)+f(-1)·1-x/2·U2n(x)/U2n(-1)+n-1∑k=1f(xk)x2k(x)其中：hk(x)=[1-2xk(xk)(x-xk)]·x2k(x)，σk(x)=(x-xk)x2k(x)xk(x)=√1-x2/√1-x2k·Un(x)/Un(xk)(x-xk)，k=1,2,…,n-1在这个定义下，对p∈R2n-1(a1，a2，…，an)贝有Hn-1(p，x)=p+O(1)·1/n2x∈(-1，1)本节给出了上述Hermite-Fejér插值算子在[-1+σ,1-σ]，σ＞0上一致收敛于f(x)和拟Grünwald插值算子的内闭一致收敛性.
文章的第三部分考虑x=±1也作为插值结点修改了Hermite插值多项式如下：H*n-1(f,x)=f(1)·1+x/2·U2n(x)/U2n(1)+f(-1)·1-x/2·U2n(x)/U2n(-1)+n-1∑k=1f(xk)hk(x)+n-1∑k=1f(xk)σk(x)hk(x)，σk(x)不变。在这个定义下，对p∈R2n-1(a1，a2，…，an)则有H：-1(p，x)=px∈[-1，1]，也得出了Hermite-Fejér插值算子在[-1+σ,1-σ]，σ＞0上一致收敛于f(x)和拟Grünwald插值算子的内闭一致收敛性。
文章的第四部分考虑非有理系统下以经典的第二类Chebyshev多项式零点为插值结点的Hermite-Fejér插值加权Lp下的收敛速度，其中：权函数为ψ(x)=(1-x2)α(α≥-1/2，0＜p＜2α+2)，给出了如下定理：定理当0＜p＜2α+2，α≥-1/2，对任何f∈C[-1,1]有{C((ωψ(f，1/n)+1/n‖f‖∞)α＞p-1(∫11|Hn(f，x)-f(x)|p(1-x2)αdx)1/p≤{C((ωψ(f，1/n)+lnn/n‖f‖∞)α=p-1{C((ωψ(f，1/n)+n1-2α+2‖f‖∞)-1/n≤α＜p-1指出当p≥2α+2，(α≥-1/n)时存在函数使limn→∞∫11|Hn(f，x)-f(x)|p(1-x2)αdx≠0