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环流形是一类有趣且重要的代数流形，它在代数流形中的地位类似有理数之于实数。关于其代数几何性质，已经知道很多，但对于其上的凯勒几何，比如常数量曲率凯勒度量的存在性，还知之甚少。本文主要探讨了环流形上的三个问题:J-flow的长时间渐进行为，一般凯勒同调类的α不变量的计算，Chow polystable的必要条件。另外还讨论了一般凯勒流形上的相关问题:Donaldson方程的可解性是否依赖于背景度量在其同调类中的选取，K-能量的Properness。 Donaldson方程cωnψ=α∧ωψ-1是在[D2]中首先考虑的，作为一类无穷维空间上矩映射的零点方程。其后又在陈秀雄[Ch2]中作为J泛函的临界点方程出现，而J泛函是K-能量的其中一项，从而方程的可解性与K-能量的Properness相关。在宋剑和Weinkove[SW1]中，通过研究J泛函的负梯度流J-flow，证明了方程可解当且仅当一个类似于存在下解的条件成立，但这个条件难于验证，特别地，仍然不知道方程可解是否只依赖于α和ω的同调类。对此Székelyhidi[Sz]从几何稳定性的角度猜测方程可解等价于一组只涉及同调类的不等式成立，本文的出发点正是在环流形上尝试证明这个猜测。 利用对称性假设，J-flow可约化为多面体上的拟线性抛物流，其特点是退化且满足难以处理的Guillemin边值条件。发现分别由ωψt和α诱导的矩映射之间的转移映射Ut有许多良好的性质，它是两个多面体之间保持组合结构的微分同胚，使得可以回避Guillemin边值带来的奇性，另外由ωψt和α诱导的T1，0M上的线性变换Aij=αj(k)gi(k)gi(k)与Ut的切映射有着相同的特征多项式，这使得流形上很多重要的量可以用Ut来表达，其中包括Székelyhidi提出的不等式。于是问题转化为研究Ut的长时间渐进行为，其满足一个退化的散度型拟线性抛物方程组，接着我们对它作了初步的研究，得到一个关于Ut的导数的部分估计，猜测Ut的导数关于时间一致有界，并且Ut会收敛，极限如果退化将与Székelyhidi的不等式矛盾。 对于一般的凯勒流形，尝试用连续性方法证明当α形变为αf时方程仍然有解，发现问题相当于无穷维空间上有两个凸泛函，其差有界，已知其一为proper，是否另外一个必有临界点。类似于陈秀雄[Ch2]得到的关于K-能量的Properness的一个充分条件，也得到一个充分条件，特点是不再需要c1(M)＜0的假设，并且涉及流形的α不变量。然后应用到一类Del Pezzo曲面，得到一族凯勒同调类其对应的K-能量为proper. 宋剑[So]运用Bergmann核的渐进展开得到了Fano环流形的α不变量的具体数值，用Demailly的log canonical threshold公式对环流形上一般凯勒同调类的α不变量作了计算。 Ono[Ono]证明了若一个极化环流形是Chow semi-stable的，那么它对应的Delzant多面体必须满足一个苛刻的重心等式，其证明主要用到Gelfand等人关于Chow form的权多面体的结果。对于polystable情形，从balanced嵌入的角度，结合Fine引进的balancing flow，对Ono的结果作了一个简单的微分几何的证明。