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当二维的自由电子处在一个均匀的垂直外磁场下时，电子能谱形成一系列分立的朗道能级。每一个朗道能级是多重简并的，其简并度由磁场大小和样品尺寸共同决定。如果在这样的系统上再加上调制的势，电子将会表现出许多有趣的量子行为。 Fock-Darwin首先考虑了施加一个抛物线型的势，即谐振子势。这时系统可以用两个参数刻画，一个是磁场作用下的回旋频率，另一个是电子在谐振子势中的振荡频率。在这两个参量的竞争下，原来无交叉的线性能谱变成了具有交叉行为的能谱，其被叫做Fock-Darwin能级。这样的能谱在研究量子点输运特性中有着广泛的应用，因为谐振子势可以很好的近似量子点的势。后来Weiss等人研究了二维电子气在一维的周期势作用下的行为。理论以及实验测量表明，当在样品上加上这样的调制势时，其电导率除了在强磁场下出现的德哈斯振荡效应外，在低场下由于磁场与电势的相互竞争，也会出现振荡行为。 当把施加的周期势从一维推广到二维时，二维电子气表现出了更为有趣的量子行为。Hofstadter首先在理论上研究了这种系统的电子能谱。在这个系统中，外场可以用参量ψ来刻画，即穿过一个周期元胞的量子磁通数。当ψ为有理数时，系统哈密顿量的维数对ψ极其敏感。这样即使ψ改变一个非常小的值，系统分立的能级数也会有很大的变化。整个能谱随着ψ变化，具有一定的分形特性，其形状像是一只蝴蝶。此后物理学家希望在实验上观察到这样的电子能谱。早期试图通过测量样品的电导率来确定，但这种测量方法不能分辨能谱中不同能隙的相对次序，而且实验的误差较大。后来发现量子霍尔效应可以很好的用来测定这样的能谱。按照Laughlin的规范不变性论证，只要电子的费米能处在禁带当中，样品的霍尔电导必然是整数，而不管该禁带处在整个能级哪个位置。在没有周期势时，禁带出现在相邻的朗道能级之间，且被填充的每一个朗道能级贡献一个整数电导2 e2/h。而当加上周期势后，每个朗道能级被分裂成多个能级，这些能级之间产生了新的小禁带。按照一般想象，每一个小能级应该贡献分数个电导，这样才能保证它们之和是整数。后来Thouless等人做了一个非常重要的工作。他们用线性响应理论得到了该系统的电导表达式，其值直接取决于波函数的相位在k空间的拓扑性质，也称为陈数。从而每个子能隙贡献的电导也必然是整数，不违背Laughlin的规范不变性论证。这些整数的正负及其大小依赖于子能隙在能谱中的相对位置。该特性便可以用来定出能谱的结构。C.Albrecht等人在2001年从实验上证实了D.J.Thouless等人的预测。比实验确定能谱更重要的是，Thouless等人在该模型基础上得到了一个对整数量子霍尔效应的拓扑解释(TKNN number)，因为没有调制势的情形，只是周期调制的一个特例。 本硕士论文首先通过计算机的数值计算得到了更为精细Hofstadter的分形能谱。考虑到电子在磁场下作回旋运动，其半径依赖于磁场的大小，且可以用磁长度来刻画。若给二维电子气施加一个环状的势，且其大小和磁长度具有相同的量级，那么在某些磁场强度下，磁场和外加势之间将存在竞争行为。我们认为在这样的竞争下，系统地能谱将会有新的特性。 本论文研究了二维电子气在加上环形方势垒下的行为。这是一个理想模型，忽略样品中的杂质以及与环境的耦合（实验上可以通过选择高迁移率的样品，以及降低温度来实现）。计算表明，在该模型下系统的能谱也存在很有趣的交叉形式。为了进一步研究电子在交叉点附近的量子行为，文中提出了一个有效哈密顿量，并数值计算了其中的参数对势垒的依赖关系。该有效哈密顿表明电子在能谱交叉点附近的行为近似为一个量子双态。由于量子双态系统在量子计算中有着广泛的应用，论文中研究的模型也许可以提供一种新的实现量子比特的方法。