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本文考虑的是如下Lotka-Volterra系统
它是一类重要的应用数学模型,广泛存在于物理、化学、生物、动态博弈论、经济等自然科学和社会科学中.众所周知,在这类方程的研究中作用矩阵A=(aij)的性质与该系统的动力学性质密切相关.根据作用矩阵A＝(aij)的性质通常将系统分为三类:
·互利合作型(或相互竞争型),如果对任意i≠j,aij≥0(aij≤0)；
·保守型,如果存在一个正对角矩阵D>0,使得AD是反对称的；
·耗散型,如果存在一个正对角矩阵D>0,使得在二次型意义下AD≤0.
在Lotka-Volterra系统的实际应用中,作用矩阵A的数据不可能是完全精确的,因此有必要考虑作用矩阵的小扰动.从而有稳定耗散矩阵的概念:如果作用矩阵A是耗散的,并且在小扰动下仍然是耗散的,那么矩阵A就是稳定耗散的,它所对应的Lotka-Volterra系统称为稳定耗散型的.
国内外的研究主要集中在对合作竞争或保守型的Lotka-Volterra系统的研究,对耗散型系统的研究相对较少,而对稳定耗散系统的研究更少.本文主要研究稳定耗散的Lotka-Volterra系统的分类及相应的动力学性质.
首先,介绍耗散及稳定耗散矩阵及相应Lotka-Volterra系统的基本概念和前人的相关研究结果.然后根据稳定耗散矩阵的性质,利用图论知识介绍最大稳定耗散图的概念及其分类方法.特别将这个方法应用于四阶稳定耗散矩阵,获得了11类最大稳定耗散图,并给出相应稳定耗散矩阵的代数判定条件.
然后对每一类最大稳定耗散图对应的Lotka-Volterra系统动力学性质进行了较完整的分析.研究表明,根据它们的极限行为,这些系统可以分为四类:全局渐进稳定到正平衡点；相空间具有叶层结构且不同叶层上的解渐近稳定到相应叶层上的正平衡点；相空间具有叶层结构且叶层上充满周期轨道；相空间中周期解、不变环面、hamilton混沌共存.
为了对上述第四类进行更深入的分析,详细研究了一类链式Lotka-Volterra系统的动力学性质.借助Lypunov次中心定理、扰动理论、Poincare截面和Lyapunov指数等理论和方法对这类系统的周期解存在性、不变环面、和hamilton混沌进行了较深入的分析,获得了对这类系统轨道性质的较完整认识.