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形如的方程被称为倒向随机微分方程(简记为BSDE),其线性形式由Bismut[14]在1973年引入,其一般形式由Pardoux和Peng[73]于1990年首次研究.
在过去的近二十年中,BSDE理论受到了广泛的关注(参见[1],[2],[4],[20],[21],[22],[28],[54],[62],[63],[64],[68],[83],[90],[91],等等).特别地,比较定理是这一理论的一大重要结果,这归因于Peng[79],然后由Paxdoux和Peng[74],E1 Karoui et al.[39],Hu和Peng[55]做了推广.比较定理告诉我们这样一个事实:当我们可以比较两个BSDE的终端条件和生成元时,那么我们也可以对其解做出比较.反过来,我们也有逆比较定理,即当可以比较解时那也可以比较生成元,参见Briand et al.[19],Coquetet al.[30],Hu和Peng[55],Jiang[59]等.
在无违约市场中,这些结果被得到了广泛的应用.准确地讲,BSDE在金融数学中有广泛的应用,如在定价和对冲理论中的应用(参见E1 Kaxoui et al.[39]等),在随机控制和对策理论中的应用(参见Buckdaln和Li[23],E1 Karoui et al.[39],E1 Karoui和Hamadène[36],Hamadène[44],Hamadène和Lepeltier[45]及[46],Hamadène et al.[47],Hamadène et al[48]及[49],Peng[80],Quenez[85],Peng和Wu[81],等等),在偏微分方程(简记为PDE)中的应用(参见Barles et al.[5],Barles和Lesigne[6],Briand[18],Pardoux和Peng[74],Pardoux和Tang[76],Pardoux和Veretennikov[77],Peng[78]及[79],Wu和Yu[88],等等).
同时,人们也对BSDE的反射解做了大量研究.单边界反射BSDE由E1 Karouiet al.[37]首次提出,其解被保持在一个给定的随机过程(称为边界或者障碍)的上方.双边界反射BSDE也随之被引入(见Cvitanic和Karatzas[32],Hamadène et al.[47]等).事实上反射BSDE是一个非常热门的课题,因为它在金融,对策,控制问题,偏微分方程等各方面都有重要的应用(参见Bally et al.[3],E1 Karoui et al.[38],Hamadène和Lepeltier[46],Lepeltier et al.[61],Matoussi[70]).后来这些结果被推广到不连续障碍的情况(参见Harnadbène[43],Lepeltier和xu[65],Peng和Xu[82]).Hamadbène和Ouknine[50](也可参见Hamadène和Wang[51]研究了由布朗运动和一个与布朗运动独立的泊松随机测度所驱动的反射BSDE.
本文的主要目的是丰富并改进BSDE理论,以下是本文的主要结果.
第一章:介绍本文工作的背景及第二章到第四章所研究的主要问题.
第二章:在违约框架下,我们首次引入了一种新型BSDE--带随机违约时间的BSDE,它由布朗运动及一个与布朗运动独立的不连续鞅所驱动,其一般形式为:
对于此类方程,我们有如下结果.值得一提的是,对生成元的要求,比较定理要强于存在唯-性定理.
定理2.2.2.(存在唯一性定理)
定理2.2.7.(比较定理)
然后我们处理了一种特殊情况--g(t,Y,z,ζ)=μ｜z｜+v1{r>l｝γl｜s｜.更一般地,通过带随机违约时间的BSDE,我们对违约风险的PDE途径做了介绍.对此,我们有定理2.4.3.假设如下定义的函数u
作为应用,我们研究了违约框架下的零和随机微分对策问题.假设两个博弈者J1和J2在同一控制系统中进行博弈.受控系统的机制如下:
第三章:我们研究了如下一般形式的超前BSDE(简记为ABSDE):定理3.3.5.下面两条是等价的:
第四章:研究了如下一般形式的推广的ABSDE(简记为GABSDE):定理4.2.3
此外,我们也讨论了带有连续障碍S的GABSDE.
定理4.3.3.