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随机分形是融概率论和分形几何理论为一体的交叉学科。随机过程样本轨道的分形性质是随机分形中一个重要的研究方向。本文研究了某些特殊Lévy过程轨道的分形几何性质，包括稳定分量过程的像集乘积集的确切分形测度函数，直线上对称Cauchy过程占时测度的重对数律以及像集的确切分形测度函数.我们还讨论了关于直线上对称Cauchy过程相交局部时的某些问题。 本研究分为四个部分：第一章首先介绍了Lévy过程的定义和基本性质。接着回顾了一些分形几何的基本概念及性质，包括Hausdorff测度和维数，填充测度和维数，Bessel-Riesz容度，最后给出了本文的主要结果。第二章研究了有限个相互独立的稳定分量过程像集乘积集上的占时测度的重对数律，并利用密度定理得到了乘积集的确切Hausdorff测度函数及确切填充测度函数。第三章首先建立了直线上对称Cauchy过程占时测度的liminf型和limsup型重对数律，随后利用这些结果得到了对称Cauchy过程像集的填充测度非零即无穷大的判别法则和确切Hausdorff测度函数。第四章利用相交等价的方法讨论了直线上对称Cauchy过程相交集的极集，并利用相交局部时研究了对称Cauchy过程重点集的分形几何性质。