【摘 要】
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该文讨论几类非线性耗散系统.针对每一个系统,首先证明系统在给定的Sobolev空间中存在吸引子,然后估计吸引子的Hausdorff维数.尽管讨论吸引子的步骤基本相同,但由于讨论的方
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该文讨论几类非线性耗散系统.针对每一个系统,首先证明系统在给定的Sobolev空间中存在吸引子,然后估计吸引子的Hausdorff维数.尽管讨论吸引子的步骤基本相同,但由于讨论的方程各异,空间变量所属的区域不同(有界或无界,光滑或不光滑),外力项随时间变化的规律不同等,所采取的具体方法与技巧将会有一定的差别.必须针对不同的类型,运用相应的方法手段,作出必要的估计,该文涉及到下列几种情形.(1) R( n≤3)上有界光滑区域上的自治系统.这种情形下所用方法是最基本的,如第四章讨论的含Auger项的半导体方程.(2)区域是无界的.这时在讨论半群的紧性时,失去了某些紧的嵌入.通过对函数空间加权限制,问题得以解决.在第五章中,运用这种方法讨论了一类四阶非线性抛物方程在整个实数集上全局吸引子的存在性.(3)系统是非自治的.此时外力与时间有关,当外力满足一定的条件时,系统产生一簇"过程",然后用过程与平移算子共同定义半群,问题转化为自治情形.文中第三章,第五章讨论的就是两个非自治系统(外力是时间的拟周期函数).(4)系统是能量系统,而非动力系统.由于半群或动力系统是建立在解的存在性与唯—性之上的,对那些唯一性不满足的初值问题,动力系统理论不再有效适用,而能量系统理论则允许多解存在,可解决在动力系统下没能解决的一些问题.第六章将其应用于3DNSE的多种边界条件,得到较满意的结果.
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