【摘 要】
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本文研究的目的是给出一种求解奇异积分方程的离散Galerkin快速方法。众所周知，边界积分方程来源于偏微分方程的边值问题，它的数值解法一直是大家关注的焦点。鉴于积分算子的非
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本文研究的目的是给出一种求解奇异积分方程的离散Galerkin快速方法。众所周知，边界积分方程来源于偏微分方程的边值问题，它的数值解法一直是大家关注的焦点。鉴于积分算子的非局部性，用数值方法离散后所得的线性方程组的系数矩阵是稠密的。如果方程组的阶数较大，则求解此方程组所需要的计算复杂度是非常大的，这样如何快速有效的求解此方程组就成为一个重要的问题。
本文给出一种求解对数型弱奇性，强奇性和超奇性的奇异积分方程的离散Galerkin快速方法。对于用Galerkin方法得到的线性方程组，我们首先提出一种压缩策略，分析在此压缩策略下所得到的逼近方程的稳定性和逼近解的收敛性。此时刚性矩阵和已知向量的元素均以积分形式存在，对此我们用数值积分方法得到一个完全离散的压缩逼近方程，同样分析它的稳定性，解的收敛性和在整个离散的过程中所需要的计算复杂度，最后利用多层扩充方法去求解此完全离散的压缩后的线性方程组，分析解的收敛性和求解此方程组所需要的计算复杂度。
基于前面的结论，我们给出一类算子方程的Petrov-Galerkin快速方法，同前面类似，对于用Petrov-Galerkin方法得到的线性方程组，我们首先提出一种压缩策略，分析在这种压缩策略下的逼近方程的稳定性，解的收敛性和刚性矩阵的条件数，然后利用多层扩充方法去求解压缩后的线性方程组，同时分析其解的收敛性和求解此方程组所需要的计算复杂度。
本文的安排如下：第一章，积分方程快速方法的回顾.第二章，求解对数型弱奇性奇异积分方程的离散Galerkin快速方法.第三章，求解强奇性奇异积分方程的离散Galerkin快速方法.第四章，求解超奇性奇异积分方程的离散Galerkin快速方法.第五章，求解一类算子方程的Petrov-Galerkin快速方法。
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