【摘 要】
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索-梁模型是航空航天、土木建筑和交通水利等领域用于研究复杂细长结构体系动力学的通用力学模型，其共振问题关系桅杆、天线、桥梁等的安全，因此索-梁耦合振动问题一直是多个领域的研究热点。模态分析是振动分析的重要基础，正交性则是模态的重要特征，尤其是涉及到振动方程解耦的问题。鉴于学术界对索梁模型的模态正交性问题的研究比较欠缺而直接使用该性质较多，本文通过理论推导、数值计算和模型验证对该问题进行了系统地分析
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索-梁模型是航空航天、土木建筑和交通水利等领域用于研究复杂细长结构体系动力学的通用力学模型，其共振问题关系桅杆、天线、桥梁等的安全，因此索-梁耦合振动问题一直是多个领域的研究热点。模态分析是振动分析的重要基础，正交性则是模态的重要特征，尤其是涉及到振动方程解耦的问题。鉴于学术界对索梁模型的模态正交性问题的研究比较欠缺而直接使用该性质较多，本文通过理论推导、数值计算和模型验证对该问题进行了系统地分析。首先，比较了不同模态设置方式的优劣性和适用性。然后得到了索梁组合结构等效刚度正交性的表达式和无量纲情况下正交性的检验式。将模态表示为向量形式，并分别针对索-梁分离法，拖拽运动法，索-梁整体法三种模态设置情况进行研究。研究发现，索-梁分离法在选用简单三角函数模态时，结构各个模态之间均满足关于质量和刚度的正交关系；拖拽运动法中的模态是否满足正交性情况各异，需对实际情况作具体分析，尤其发现其跟索梁连接处的位置与梁长的比值是否为有理数有关；索-梁整体法中的模态在不考虑拉索垂度时满足正交性，在考虑拉索垂度时不满足正交性，同时发现两个模态的内积的绝对值一定小于它们模态质量和的一半，无量纲内积偶尔出现很大的值，说明该两阶模态之间正交性很差，另外多数模态组的动能集中在梁上但偶尔也有集中于索上或者趋近平分的情况发生。接着建立了拉索温克尔梁模型和拉索简支梁模型，推导梁温克尔梁的基床系数k,进行了模态分析，双模态离散和多尺度法分析，通过模型有力地说明了模态不正交带来的耦合项对非线性动力分析的结果中的时程曲线、相图、共振频率比与相位差等均产生了不容忽视的较大影响，不考虑模态不正交带来会使得计算结果丢失某些内共振成分，与此同时也发现了考虑其他拉索影响的等效为温克尔地基梁的斜拉桥梁的诸如“频率漂移”等新现象。最后对多频共振发生的条件进行了研究，分频率全为有理数和存在无理数的情况进行了分类讨论得到了严谨结论，并对求解此类问题的通法进行了完整的讨论与证明，建立了程序化的分析流程：先找到一组具有某性质的数，将每个频率表示为这些数的有理线性组合，再通过求解系数矩阵的秩以及判断等效的齐次线性方程组的解是否有恒0分量来分析多频共振发生的情况，最后通过所得结果的不同可精确判断出所选频率间是“不存在多频共振”、“存在一种多频共振”还是“存在无穷多种多频共振”。
本文针对多频共振发生的条件以及目前研究索-梁动力学的三种方法中模态正交性的判断和不正交情况的影响给出了严谨结论，对今后科研工作中模态的选取、模态函数的性质、振动方程求解以及多频共振的研究具有重要科学意义。
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